Question

GEOMETRIA ANALÍTICA

Verifique a posição relativa entre a circunferência e a reta:

B: (x+2)² + (y)²= 36
r: y= 5x-8

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Ana Júlia, que a resolução é simples, embora um pouco trabalhosa.
Vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo, para um melhor entendimento.

i) Primeiro vamos encontrar qual é o raio da circunferência dada, cuja equação é esta:

(x+2)² + (y)² = 36 ---- veja que esta equação poderá ser reescrita assim:
(x+2)² + (y-0)² = 36 ---- ou, o que é a mesma coisa:
(x+2)² + (y-0)² = 6²    . (I)

Note, a propósito, que uma circunferência que tenha centro em C(xo; yo) e raio = r, a sua equação reduzida é escrita da seguinte forma:

(x-xo)² + (y-yo)² = r²    . (II)

Agora compare a equação da reta que deixamos lá em (I) , com a equação que está escrita aí em (II) acima.
Note que, da comparação feita, você já poderá concluir que a circunferência da sua questão tem centro em C(-2.; 0) e raio = 6.

ii) Como já sabemos qual é o centro da circunferência da sua questão [C(-2; 0)] e também já sabemos qual é o seu raio (r = 6), então vamos tomar a reta "r", que é: y = 5x - 8 e vamos colocá-la na sua forma geral. Para isso, basta que coloquemos "y" para o 2º membro, ficando assim:

5x - 8 - y  = 0 --- ordenando, teremos:
5x - y - 8 = 0 <-- Esta é a equação geral da reta "r".

Agora note: vamos encontrar qual é a distância (d) do centro da circunferência [C(-2; 0)] à reta cuja equação geral é: 5x - y - 8 = 0.

A propósito, note que a distância (d) de um ponto (xo; yo) a uma reta de equação Ax + By + C = 0, é dada da seguinte forma:

d = |Axo + Byo + C|/√(A²+B²).

Assim, tendo a relação acima como parâmetro, e considerando que deveremos encontrar a distância (d) do centro da circunferência C(-2; 0), à reta 5x - y - 8 = 0, então vamos fazer as devidas substituições, ficando: 

d = |5*(-2) + (-1)*0 + (-8)|/√(5² + (-1)²)
d = |-10 - 0 - 8|/√(25 + 1)
d = |- 18|/√(26) ----- veja |-18| = 18; e √(26) = 5,1 (aproximadamente). Logo:
d = 18/5,1 ----- veja que esta divisão dá 3,53 (aproximadamente). Assim:
d = 3,53 ---- Esta é a distância (bem aproximada) do centro da circunferência à reta "r".

iii) Agora vamos à posição relativa dessa reta em relação à circunferência.

Note que há três situações principais de posições de retas em relação a uma circunferência:

iii.a) Se a reta for externa à circunferência, então a distância (d) do centro à reta será maior que o raio, ou seja: d > r
iii.b) Se a reta for tangente à circunferência, então a distância (d) do centro à reta será igual ao raio, ou seja: d = r
iii.b) Se a reta for secante à circunferência (corta-a em dois pontos), então a distância (d) do centro à reta será menor que o raio, ou seja: d < r.

Como já vimos que o raio da circunferência da sua questão é igual a "6", e a distância do centro da circunferência à reta  é igual a "3,53" (aproximadamente), segue-se que a posição relativa da reta em relação à circunferência é:

secante (corta a circunferência em dois pontos)  <--- Esta é a resposta,pois a distância "d" é menor que o raio da circunferência.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.