Question

Em um poliedro convexo só há faces triangulares e quadrangulares e apenas ângulos tetraédricos e pentaédricos. Se esse poliedro tem 15 faces e 12 vértices, assinale o que for correto:

01) O número de arestas é 50

02) O número de faces quadrangulares é a metade do
número de faces triangulares

04) O número de ângulos tetraédricos é o dobro do
número de ângulos pentaédricos

08) A soma dos ângulos das faces é igual a 40 retos

16) O número de ângulos tetraédricos é 5

Answer 1

Vamos analisar cada afirmativa:

01) A relação de Euler nos diz que:

V + F = A + 2

sendo V o número de vértices, F o número de faces e A o número de arestas.

Como V = 12 e F = 15, então:

12 + 15 = A + 2
27 = A + 2
A = 25

Portanto, a afirmativa está incorreta.

02) Considere que F₃ é a quantidade de faces triangulares e F₄ é a quantidade de faces quadrangulares.

Então, podemos montar o seguinte sistema:

3F₃ + 4F₄ = 50
F₃ + F₄ = 15

Multiplicando a segunda equação por -3 e somando:

3F₃ + 4F₄ = 50
-3F₃ - 3F₄ = -45

F₄ = 5 ∴ F₃ = 10

Logo, F₄ é metade de F₃.

Portanto, a afirmativa está correta.

04) Ângulos tetraédricos possuem 4 arestas enquanto que os pentaédricos possuem 5 arestas.

Logo, podemos montar o seguinte sistema:

4T + 5P = 50
T + P = 12

Multiplicando a segunda equação por -4 e somando:

4T + 5P = 50
-4T - 4P = -48

P = 2 ∴ T = 10

A afirmativa está incorreta, pois T = 5P

08) A soma dos ângulos internos das faces é igual a (V - 2).4r

Logo,

(12 - 2).4r = 10.4r = 40r

Portanto, a afirmativa está correta.

16) Do item 04) concluímos que o número de ângulos tetraédricos é igual a 10.

Portanto, a afirmativa está incorreta.