• Matéria: ENEM
  • Autor: mickiiLetilia1naf1er
  • Perguntado 9 anos atrás

O termo independente de "x" no binômio (x + 1/x)^10 é igual a: ?? (com desenvolvimentos por favor)

Respostas

respondido por: Dhraco
7
Obs(Importantíssima).: simbolizarei a combinação-n,p (C_{n,p}) como (\frac{n}{p}) isto não é uma fração! a fração será simbolizada por \frac{n}{p} - sem parênteses.

(x+\frac{1}{x})^{10}
Em seus estudos sobre binômio de Newton e o triângulo de Pascal, certamente verificou que no desenvolvimento de um binômio qualquer(ex.:(x+y)^{a}), conseguiremos uma expressão do formato:

Σ (\frac{a}{x})(x)^{a-x}(y)^{x}
ˣ=⁰
Simplificando: (x+y)^{a}
(\frac{a}{0})x^{a}y^{0}+(\frac{a}{1})x^{a-1}y^{1}+...+(\frac{a}{a-1})x^{1}y^{a-1}+(\frac{a}{a})x^{0}y^{a}
Caso não conheça essa elementar propriedade, recomendo que reestude o assunto.
Partindo deste princípio, buscaremos um termo, onde o expoente de x seja igual ao expoente de \frac{1}{x}, pois x^{n}*\frac{1}{x^{n}}=1 como este um multiplicará o coeficiente que acompanha-o, obteremos o termo independente de x. Sendo assim:
(x+\frac{1}{x})^{10}=(\frac{10}{0})x^{10}+(\frac{10}{1})x^{9}(\frac{1}{x})+(\frac{10}{2})x^{8}(\frac{1}{x})^{2}+...+(\frac{10}{n})x^{(10-n)}(\frac{1}{x})^{n}+...+(\frac{10}{10})(\frac{1}{x})^{10}
Precisamos pensar em um número que atenda a condição:
(10-n)-n=0
Pois, como vimos anteriormente, faremos: x^{(10-n)}(\frac{1}{x})^{n}
Multiplicando: 
\frac{x^{(10-n)}}{x^{n}} precisamos que essa divisão tenha quociente 1- para que o coeficiente (\frac{10}{n}) seja independente de x, para que isso ocorra o expoente final deve ser 0-, como temos uma divisão de potências de mesma base, devemos repetir a base (x) e subtrair os expoentes então:
(10-n)-n=0
10-2n=0
2n=10
n=5
Então, o termo independente será:
(\frac{10}{n})x^{10-n}(\frac{1}{x})^{n}=(\frac{10}{5})\frac{x^{5}}{x^{5}}=(\frac{10}{5})
Este é o número: 
(\frac{10}{5})=\frac{10!}{5!(10-5)!}=\frac{10*9*8*7*6*5!}{5!5!}=\frac{10*9*8*7*6}{5*4*3*2*1}=2*3*2*3*7=4*9*7=36*7=252
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