Question

Determine as raízes do polinomio P(x) =x⁴+x³-3x²-5x-2, sabendo que admite uma raiz tripla

Answer 1

Olá Abner!

 Inicialmente, podemos verificar quais dos divisores (inclusive negativos) do termo independente (- 2) da equação são raízes dela.

 Temos que, $\mathsf{D(- 2) = \left \{ - 2, - 1, 1, 2 \right \}}$.

 Como podemos notar, (- 1) é uma raiz; verifiquemos:

$\\ \mathsf{P(x) = x^4 + x^3 - 3x^2 - 5x - 2} \\ \mathsf{P(- 1) = (- 1)^4 + (- 1)^3 - 3 \cdot (- 1)^2 - 5 \cdot (- 1) - 2} \\ \mathsf{P(- 1) = 1 - 1 - 3 + 5 - 2} \\ \mathsf{P(- 1) = 0}$

 Dividamos, agora, $\mathsf{P(x)}$ pelo divisor $\\ \mathsf{d : x + 1} \Leftarrow \mathsf{x + 1 = 0} \Leftarrow \mathsf{x = - 1}$.

x^4 + x³ - 3x² - 5x - 2 | x + 1
_________________| x³ - 3x - 2
+ x^4 + x³
- x^4 - x³
_________________
- 3x² - 5x - 2
+ 3x² + 3x
_________________
- 2x - 2
+ 2x + 2
_________________
0

 Isto posto, tiramos que: $\mathsf{P(x) = (x + 1)(x^3-3x-2)}$

 Por conseguinte, aplicamos o mesmo raciocínio desenvolvido acima em relação ao fator $\mathsf{x^3-3x-2}$. Como podes notar, (+ 2) é uma solução, então dividamos...

$\\ \mathsf{d:x-2} \Leftarrow \mathsf{x-2=0} \Leftarrow \mathsf{x=2}$.

x³ - 3x - 2 | x - 2
________| x² + 2x + 1
+ x³ - 3x
- x³ + 2x²
________
+ 2x² - 3x
- 2x² + 4x
_________________
+ x - 2
- x + 2
_________________
0

 Isto posto, temos que $\mathsf{x^3-3x-2=(x+2)(x^2+2x+1)}$.

 Logo, tiramos que:

$\\ \mathsf{P(x) = x^4 + x^3 - 3x^2 - 5x - 2} \\ \mathsf{P(x) = (x + 1) \cdot (x^3 - 3x - 2)} \\ \mathsf{P(x) = (x + 1) \cdot \left [ (x - 2) \cdot (x^2 + 2x + 1) \right ]} \\ \mathsf{P(x) = (x + 1) \cdot (x - 2) \cdot (x + 1)^2} \\ \boxed{\mathsf{P(x) = (x + 1)^3 \cdot (x - 2)}}$

 Assim, fica fácil perceber que as raízes são (+ 2) e (- 1); onde (- 1) tem multiplicidade três.