Question

Alguém pode me ajudar, por favoor??

Na figura seguinte, BÂE = A^CE=F^DE= 90° e as medidas CD, AF, DE são iguais a 1, 2 e 3, respectivamente. determine a área do triângulo ABE

R: 32√3

Answer 1

 Olá Mari!!

Por semelhança entre $\mathsf{\Delta FDE \ e \ \Delta ACE}$, temos que:

$\\ \mathsf{\frac{\overline{AE}}{\overline{FE}} = \frac{\overline{CE}}{\overline{DE}}} \\\\ \mathsf{\frac{2 + FE}{FE} = \frac{4}{3}} \\\\ \mathsf{4 \cdot FE = 6 + 3 \cdot FE} \\\\ \mathsf{4 \cdot FE - 3 \cdot FE = 6} \\\\ \boxed{\mathsf{FE = 6}}$

 Do triângulo $\mathsf{F\widehat{D}E}$,

$\\ \mathsf{FE^2 = FD^2 + DE^2} \\ \mathsf{6^2 = FD^2 + 3^2} \\ \mathsf{FD^2 = 36 - 9} \\ \mathsf{FD^2 = 27} \\ \boxed{\mathsf{FD = 3\sqrt{3}}}$


 Por conseguinte, do triângulo $\mathsf{A\widehat{C}E}$,

$\\ \mathsf{AE^2 = AC^2 + CE^2} \\ \mathsf{(2 + 6)^2 = AC^2 + 4^2} \\ \mathsf{AC^2 = 64 - 16} \\ \mathsf{AC^2 = 48} \\ \boxed{\mathsf{AC = 4\sqrt{3}}}$

 Por fim, consideramos os triângulos $\mathsf{A\widehat{B}C}$ e $\mathsf{A\widehat{B}E}$ dos quais tiramos as seguintes equações (a partir do Teorema de Pitágoras):

$\\ \begin{cases} \mathsf{AB^2 = AC^2 + BC^2} \\ \mathsf{BE^2 = AB^2 + AE^2} \end{cases} \\ \begin{cases} \mathsf{AB^2 = 48 + BC^2} \\ \mathsf{(BC + CD + DE)^2 = AB^2 + (2 + 6)^2} \end{cases} \\ \begin{cases} \mathsf{AB^2=48+BC^2 \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad i)} \\ \mathsf{(BC + 4)^2 = AB^2 + 64 \qquad \qquad \qquad \quad \ ii)} \end{cases} \\\\ \mathsf{Substituindo \ i) \ em \ ii),} \\\\ \mathsf{BC^2 + 8 \cdot BC + 16 = 48 + BC^2 + 64} \\ \mathsf{8 \cdot BC = 96} \\ \boxed{\mathsf{BC = 12}}$

 Por fim, encontramos a área sabendo que $\mathsf{S = \frac{a \cdot h}{2}}$, onde "a" é a hipotenusa e "h" a altura do triângulo retângulo. Veja,

$\\ \mathsf{S = \frac{BE \cdot AC}{2}} \\\\ \mathsf{S = \frac{(12 + 1 + 3) \cdot 4\sqrt{3} }{2}} \\\\ \mathsf{S = 16 \cdot 2\sqrt{3}} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{S = 32\sqrt{3}}}}$