Question

O pentágono ABCDE ao lado é formado pela junção do quadrado ABDE e o triangulo equilátero BCD, representado a planta baixa de uma propriedade agrícola na
escala 1:25000, onde o FC, nessa planta, mede 2raiz quadrada de 3cm. o dono dessa propriedade pretende cerca-la totalmente e construir duas estradas retas para melhor acesso nessa propriedade. Numa pesquisa de preços o proprietário concluiu que 1 metro linear de cerca custa R$24,00 e a hora de maquina é de R$120,00,cujo rendimento da maquina é de 80 metros de estrada por hora. nessas condições calcule o custa nessa propriedade:
a: Da cerca contornando toda a região;
b: da estrada ligando os vértices A ao D;
c; Da estrada ligando o ponto médio de AE ao vértice C;

Answer 1

Primeiro, vamos obter o lado do quadrado ABDE, que é também o lado do triângulo equilátero BCD.
Como conhecemos a altura do triângulo (h = CF = 2√3) e sabemos que esta altura, em função do lado (a) é:

h = a√3 ÷ 2

Vamos substituir o valor de h fornecido no enunciado:

2√3 = a√3 ÷ 2
a = 2(2√3) ÷ √3
a = 4 cm, lado do quadrado e do triângulo equilátero

Como a escala do desenho é 1:25.000, 4 cm correspondem a:

1 cm --->  25.000 cm
4 cm ---> x cm

x = 4 × 25.000
x = 100.000 cm
x = 1.000 m (medida real do lado)

Agora, podemos responder às questões:

a) A cerca, contornando toda a região, tem o comprimento igual à soma dos segmentos:

AB + BC + CD + DE + EA = 5 × 1.000 m = 5.000 m

Como o metro da cerca custa R$ 24,00 , o custo total será:

5.000 × 24,00 = R$ 120.000,00

R.: O custo da cerca, contornando toda a região é de R$ 120.000,00

b) A distância entre os vértices A e D é igual ao comprimento da diagonal (d) do quadrado de lado igual a 1.000 m:

d = 1.000 × √2
d = 1.000 × 1,4142
d = 1.414,20 m

Como a máquina prepara 80 m por hora, para a estrada toda precisará de:

1.414,20 m ÷ 80 = 17,68 horas

Como cada hora custa R$ 120,00, o custo da estrada será:

17,68 × 120,00 = R$ 2.121,60

R.: O custo da estrada ligando A a D será R$ 2.121,60

c) A distância do ponto médio do lado AE ao vértice C é igual à soma de um lado do quadrado com a altura do triângulo equilátero:

1.000 m + (1.000 × √3 ÷ 2) m =
1.000 m + 866 m = 1.866 m (comprimento da estrada)

Como a máquina faz 80 m por hora, levará:

1.866 ÷ 80 = 23,325 horas

Como o custo por hora é de R$ 120,00, o custo total será de:

23,325 × 120,00 = 2.799,00

R.: O custo da estrada ligando o ponto médio do lado AE ao ponto C será de R$ 2.799,00