Question

(a) Na notação de vetor unitário, qual é a soma de

a = (4,0 m)i + (3,0 m)j e b = (-13,0 m)i + (7,0 m)j

Quais são (b) o módulo e (c) a direção de a + b (relativa a i)?

Answer 1

$\begin{array}{ccr} \overrightarrow{\mathbf{a}}&=&(4,\!0\mathrm{~m})\overrightarrow{\mathbf{i}}+(3,\!0\mathrm{~m})\overrightarrow{\mathbf{j}}\\\\ \overrightarrow{\mathbf{b}}&=&(-13,\!0\mathrm{~m})\overrightarrow{\mathbf{i}}+(7,\!0\mathrm{~m})\overrightarrow{\mathbf{j}} \end{array}$

________

O vetor soma $\overrightarrow{\mathbf{a}}+\overrightarrow{\mathbf{b}}$ é encontrado somando-se as coordenadas correspondentes:

$\overrightarrow{\mathbf{a}}+\overrightarrow{\mathbf{b}}=(4,\!0-13,\!0)\overrightarrow{\mathbf{i}}+(3,\!0+7,\!0)\overrightarrow{\mathbf{j}}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\overrightarrow{\mathbf{a}}+\overrightarrow{\mathbf{b}}=(-9,\!0\mathrm{~m})\overrightarrow{\mathbf{i}}+(10,\!0\mathrm{~m})\overrightarrow{\mathbf{j}} \end{array}}$


(b) O módulo do vetor soma é obtido pelo teorema de Pitágoras:

$\|\overrightarrow{\mathbf{a}}+\overrightarrow{\mathbf{b}}\|=\sqrt{(-9,\!0)^2+(10,\!0)^2}\\\\\\ \|\overrightarrow{\mathbf{a}}+\overrightarrow{\mathbf{b}}\|=\sqrt{81+100}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c} \|\overrightarrow{\mathbf{a}}+\overrightarrow{\mathbf{b}}\|=\sqrt{181}\approx 13,45\mathrm{~m} \end{array}}$


(c) A direção do vetor soma é o vetor unitário $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ (versor) que é dado por

$\overrightarrow{\mathbf{u}}=\dfrac{1}{\|\overrightarrow{\mathbf{a}}+\overrightarrow{\mathbf{b}}\|}\cdot \big(\overrightarrow{\mathbf{a}}+\overrightarrow{\mathbf{b}}\big)\\\\\\ \overrightarrow{\mathbf{u}}=\dfrac{1}{\sqrt{181}}\cdot \big[(-9,\!0\mathrm{~m})\overrightarrow{\mathbf{i}}+(10,\!0\mathrm{~m})\overrightarrow{\mathbf{j}}\big]\\\\\\ \overrightarrow{\mathbf{u}}=\left(\dfrac{-9,\!0}{\sqrt{181}}\mathrm{~m}\right)\overrightarrow{\mathbf{i}}+\left(\dfrac{10,\!0}{\sqrt{181}}\mathrm{~m}\right)\overrightarrow{\mathbf{j}}\\\\\\ \overrightarrow{\mathbf{u}}\approx (-0,\!667\mathrm{~m})\overrightarrow{\mathbf{i}}+(0,\!743\mathrm{~m})\overrightarrow{\mathbf{j}}$


E a componente horizontal deste vetor direção é

$\left(\dfrac{-9,\!0}{\sqrt{181}}\mathrm{~m}\right)\overrightarrow{\mathbf{i}}\approx (-0,\!667\mathrm{~m})\overrightarrow{\mathbf{i}}$


Bons estudos! :-)