Question

Cada um dos três vetores a, b e c possui um módulo igual a 50 m e pertence ao plano xy. Suas direções relativas ao sentido positivo do eixo x são 30°, 195° e 315°, respectivamente. Quais são (a) o módulo e (b) o ângulo do vetor a + b + c

Answer 1

O enunciado nos fornece o seguinte:


• Os três vetores tem o mesmo módulo:

$\|\overrightarrow{\mathbf{a}}\|=\|\overrightarrow{\mathbf{b}}\|=\|\overrightarrow{\mathbf{c}}\|=50$


• Os ângulos que eles formam com o eixo $x$ são respectivamente 30º, 195° e 315°.

(medidos a partir do eixo x positivo até a direção do vetor, no sentido anti-horário)

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Vamos encontrar a forma cartesiana de cada vetor.

$\bullet\;\;\overrightarrow{\mathbf{a}}=a_x \overrightarrow{\mathbf{i}}+a_y\overrightarrow{\mathbf{j}}\\\\ \overrightarrow{\mathbf{a}}=\big(\|\overrightarrow{\mathbf{a}}\|\cos 30^\circ\big) \overrightarrow{\mathbf{i}}+\big(\|\overrightarrow{\mathbf{a}}\|\,\mathrm{sen\,}30^\circ \big)\overrightarrow{\mathbf{j}}\\\\ \overrightarrow{\mathbf{a}}=\big(50\cos 30^\circ\big) \overrightarrow{\mathbf{i}}+\big(50\,\mathrm{sen\,}30^\circ \big)\overrightarrow{\mathbf{j}}\\\\ \overrightarrow{\mathbf{a}}=\big(50\cdot 0,\!866\big) \overrightarrow{\mathbf{i}}+\big(50\cdot 0,\!5\big)\overrightarrow{\mathbf{j}}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\overrightarrow{\mathbf{a}}=43,\!3 \overrightarrow{\mathbf{i}}+25\overrightarrow{\mathbf{j}} \end{array}}$


$\bullet\;\;\overrightarrow{\mathbf{b}}=b_x\overrightarrow{\mathbf{i}}+b_y\overrightarrow{\mathbf{j}}\\\\\overrightarrow{\mathbf{b}}=\big(\|\overrightarrow{\mathbf{b}}\|\cos 195^\circ\big) \overrightarrow{\mathbf{i}}+\big(\|\overrightarrow{\mathbf{b}}\|\,\mathrm{sen\,}195^\circ \big)\overrightarrow{\mathbf{j}}\\\\ \overrightarrow{\mathbf{b}}=\big(50\cos 195^\circ\big) \overrightarrow{\mathbf{i}}+\big(50\,\mathrm{sen\,}195^\circ \big)\overrightarrow{\mathbf{j}}\\\\ \overrightarrow{\mathbf{b}}=\big(50\cdot (-0,\!966)\big) \overrightarrow{\mathbf{i}}+\big(50\cdot(-0,\!259)\big)\overrightarrow{\mathbf{j}}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\overrightarrow{\mathbf{b}}=-48,\!3 \overrightarrow{\mathbf{i}}-12,\!9\overrightarrow{\mathbf{j}} \end{array}}$


$\bullet\;\;\overrightarrow{\mathbf{c}}=c_x\overrightarrow{\mathbf{i}}+c_y\overrightarrow{\mathbf{j}}\\\\ \overrightarrow{\mathbf{c}}=\big(\|\overrightarrow{\mathbf{c}}\|\cos 315^\circ\big) \overrightarrow{\mathbf{i}}+\big(\|\overrightarrow{\mathbf{c}}\|\,\mathrm{sen\,}315^\circ \big)\overrightarrow{\mathbf{j}}\\\\ \overrightarrow{\mathbf{c}}=\big(50\cos 315^\circ\big) \overrightarrow{\mathbf{i}}+\big(50\,\mathrm{sen\,}315^\circ \big)\overrightarrow{\mathbf{j}}\\\\ \overrightarrow{\mathbf{c}}=\big(50\cdot 0,\!707\big) \overrightarrow{\mathbf{i}}+\big(50\cdot(-0,\!707)\big)\overrightarrow{\mathbf{j}}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\overrightarrow{\mathbf{c}}=35,\!4\overrightarrow{\mathbf{i}}-35,\!4\overrightarrow{\mathbf{j}} \end{array}}$

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Vetor pedido para as letras (a) e (b):

$\overrightarrow{\mathbf{a}}+\overrightarrow{\mathbf{b}}+\overrightarrow{\mathbf{c}}\\\\ =(a_x+b_x+c_x)\overrightarrow{\mathbf{i}}+(a_y+b_y+c_y)\overrightarrow{\mathbf{j}}\\\\ =(43,\!3-48,\!3+35,\!4)\overrightarrow{\mathbf{i}}+(25-12,\!9-35,\!4)\overrightarrow{\mathbf{j}}\\\\ =\boxed{\begin{array}{c}30,\!4\overrightarrow{\mathbf{i}}-23,\!3\overrightarrow{\mathbf{j}} \end{array}}$


(a) O módulo:

$\|\overrightarrow{\mathbf{a}}+\overrightarrow{\mathbf{b}}+\overrightarrow{\mathbf{c}}\|\\\\ =\sqrt{(30,\!4)^2+(-23,\!3)^2}\\\\ =\sqrt{924,\!16+542,\!89}\\\\ =\sqrt{1467,\!05}\\\\ \approx 38,\!3$


(d) O ângulo $\theta:$

(medido a partir do eixo x positivo até a direção do vetor, no sentido anti-horário)

$\cos \theta=\dfrac{a_x+b_x+c_x}{\|\overrightarrow{\mathbf{a}}+\overrightarrow{\mathbf{b}}+\overrightarrow{\mathbf{c}}\|}\\\\\\ \cos \theta=\dfrac{30,\!4}{38,\!3}\approx 0,794\\\\\\\\ \mathrm{sen\,}\theta=\dfrac{a_y+b_y+c_y}{\|\overrightarrow{\mathbf{a}}+\overrightarrow{\mathbf{b}}+\overrightarrow{\mathbf{c}}\|}\\\\\\ \mathrm{sen\,}\theta=\dfrac{-23,\!3}{38,\!3}\approx -0,608$


Cosseno positivo e seno negativo, então $\theta$ é do 4º quadrante.

$\theta\approx \mathrm{arcsen}(-0,\!608)\approx\boxed{\begin{array}{c}-37,\!4^\circ \end{array}}$


Bons estudos! :-)