Uma moeda é lançada 7 vezes. Calcular a probabilidade de:
a) ocorrer 5 caras;
b) não correr coroa;
c) ocorrer pelo menos 2 coroas.

Respostas

respondido por: Renrel

Olá.

Para responder essa questão, devemos usar binominal.

$\mathsf{P=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot q^{n-k}}\\\\\\ \mathsf{P=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\cdot p^k\cdot q^{n-k}}$

Onde:

p refere-se a probabilidade desejada, no caso, 0,5;

q refere-se a probabilidade de fracassar, no caso, 0,5;

n refere-se a quantidade total de possibilidades, no caso, 7;

k refere-se a quantidade de possibilidades desejadas.

Questão A

Nesse caso, k = 5, já que desejamos saber a probabilidade em que se terá exatamente 5 caras. Vamos aos cálculos.

$\mathsf{P=\dfrac{7!}{k!(7-k)!}\cdot 0,5^k\cdot0,5^{7-k}}\\\\\\ \mathsf{P=\dfrac{7!}{5!(7-5)!}\cdot 0,5^5\cdot0,5^{7-5}}\\\\\\ \mathsf{P=\dfrac{7\cdot6\cdot5!}{5!\cdot2!}\cdot 0,03125\cdot0,5^{2}}\\\\\\ \mathsf{P=7\cdot6\cdot 0,03125\cdot0,25}\\\\\\ \mathsf{P=56\cdot0,0078125}\\\\\\ \boxed{\mathsf{P=0,4375=43,75\%}}$

Questão B

Nesse caso, k = 7, já que queremos saber todas as possibilidades de não haver coroa.

$\mathsf{P=\dfrac{7!}{k!(7-k)!}\cdot 0,5^k\cdot0,5^{7-k}}\\\\\\ \mathsf{P=\dfrac{7!}{7!(7-7)!}\cdot 0,5^7\cdot0,5^{7-7}}\\\\\\ \mathsf{P=\dfrac{7!}{7!\cdot1!}\cdot0,0078125\cdot0,5^{0}}\\\\\\ \mathsf{P=1\cdot0,0078125\cdot1}\\\\\\ \boxed{\mathsf{P=0,0078125=0,78125\%}}$

Um outro método é multiplicar as probabilidades para cada caso.

$\mathsf{P=0,5\cdot0,5\cdot0,5\cdot0,5\cdot0,5\cdot0,5\cdot0,5}\\\\\\ \mathsf{P=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}}\\\\\\ \mathsf{P=\dfrac{1^7}{2^7}}\\\\\\ \boxed{\mathsf{P=\dfrac{1}{128}=0,0078125=0,78125\%}}$

Questão C

Para esse caso, temos que tirar casos indesejados dos casos desejados. Os casos desejados são os com pelo menos 2 coroas (podem acontecer 2, 3, 4, 5, 6, 7 coroas, desde que o mínimo seja 2).

Os casos indesejados, no binominal, tem k = 0 e k = 1 (pois são as possibilidades para que ocorram 1 ou nenhuma coroa). O total de probabilidades, do qual subtrairemos os casos indesejados, é igual a 100%, logo, 1. Vamos aos cálculos dos binominais.

O desenvolvimento para k = 0 é igual ao desenvolvimento para k = 7, logo, podemos afirmar que a probabilidade para esse caso é P = 0,0078125.

Para k = 1, teremos:

$\mathsf{P=\dfrac{7!}{k!(7-k)!}\cdot 0,5^k\cdot0,5^{7-k}}\\\\\\ \mathsf{P=\dfrac{7!}{1!(7-1)!}\cdot 0,5^1\cdot0,5^{7-1}}\\\\\\ \mathsf{P=\dfrac{7\cdot6!}{6!}\cdot 0,5\cdot0,5^{6}}\\\\\\ \mathsf{P=7\cdot0,5^{7}}\\\\ \mathsf{P=7\cdot0,0078125}\\\\ \mathsf{P=0,0546875}$