Question

Cada um dos três vetores a, b e c possui um módulo igual a 50 m e pertence ao plano xy. Suas direções relativas ao sentido positivo do eixo x são 30°,
195° e 315°, respectivamente. Quais são (e) o módulo e (f) o ângulo de um quarto vetor d tal que (a + b) - ( c + d) = 0?

Answer 1

Vamos decompor o vetor "a"

α = 30°

Vax = aSenα

Vax = 50×Sen(30)

Vax = 25m

Agora achando Vay

Vay = aCosα

Vay = 50×Cos(30)

Vay = 50×√(3)/2

Vay = 25√(3)m

Ou seja,

a = (25i, 25√3j)m
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Achando as decomposição do vetor b.

O angulo 195° equivale a 105° a partir do quarto quadrante.
Já que o primeiro quadrante tem 90° + 105° = 195°

Do primeiro quadrante até o eixo y no quarto quadrante são 180°

Então, esse vetor está a 15° no terceiro quadrante.


Vby = -bCos(β)

Vby = -50×Cos(15)

Vby ≈ -48,296m

Já Vbx,

Vbx = -bCosβ

Vbx = -50×Sen(15)

Vbx = -12,940m

Ou seja,

b = (-12,940i, -48,296j)m
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Vamos achar o vetor c

315° está 225° a partir do quarto quadrante.

Quarto quadrante está a 360°

360° - 225° = 135°
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O vetor está a 135°

Vcx = cCos(Ф)

Vcx = 50×(135)

Vcx = 50×(-√2/2)

Vcx = -25√(2)m

já Vcy

Vcy = cSen(Ф)

Vcy = 50×√2/2

Vcy = 25√(2)m

Logo,

c = (-25√(2)i ,  25√(2)j)m
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Para acharmos o módulo, devemos ter a resultante:

r = a+b+c   ⇔ Possui a seta de vetores

r = (25i, 25√3j) + (-12,940i, -48,296j) + (-25√(2)i ,  25√(2)j)

r = (25-12,940-25√2, 25√3 -48,296+25√2)

r = (-23,295i , 29,730j)m
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$\\ |r| = \sqrt{(-23,295)^2+(29,730)^2} \\ \\ |r| = 37,769m$


f)


(a+b) -(c+d) = 0

a+b -c-d = 0

a +b - c = d

d = a+b-c

$\\ d = (25i, 25 \sqrt{3} j) + (-12,940i, -48,296j) - (-25 \sqrt{2} i , 25 \sqrt{2} j) \\ \\ d = (25i, 25 \sqrt{3} j) + (-12,940i, -48,296j) + (25 \sqrt{2} i , -25 \sqrt{2} j) \\ \\ d = (25-12,940+25 \sqrt{2} , 25 \sqrt{3} -48,296-25 \sqrt{2} ) \\ \\ d = (47,415i, -40,350j)m$

O angulo procurado será:


$\\ tg(x) = \frac{Vy}{Vx} \\ \\ Tg(x) = \frac{-40,350}{47,415} \\ \\ x = arcTg( \frac{-40,350}{47,415} )$

x ≈ -40,39°

ou

x ≈ 180° -40,39°

x ≈ 139,6°