Question

O número de anagramas da palavra ALAMEDA não apresentam as 4 vogais juntas é:

Answer 1

Vamos primeiramente encontrar o total de anagramas, independente das restrições do enunciado.

Temos uma permutação de 7 elementos (letras), sendo 3 delas repetidas. O total de anagramas da palavra ALAMEDA é

$P_7^3=\dfrac{7!}{3!}=\dfrac{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3!}{3!}\\\\\\ =840\text{~anagramas}$


• Agora, calculamos o número de anagramas que têm as vogais juntas:

Podemos pensar nas vogais [AAAE] como uma "única letra". Assim garantimos que elas ficarão juntas nestes anagramas:


• Calculando as permutações entre as vogais [AAAE]: (4 elementos com repetição de 3)

$P_4^3=\dfrac{4!}{3!}\\\\\\ =\dfrac{4\cdot 3!}{3!}\\\\\\ =4$


• Calculando as permutações da palavra completa que têm as quatro vogais juntas (considere [AAAE] como uma única letra) :

[AAAE]  L  M  D

$P_4^3\cdot P_4=4\cdot 4!\\\\ =4\cdot 24\\\\ =96$

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Como queremos as que não apresentam as quatro vogais juntas, fazemos a subtração:

$P_7^3-P_4^3\cdot P_4\\\\ =840-96\\\\ =\boxed{\begin{array}{c}744\text{~anagramas} \end{array}}$


Bons estudos! :-)