Question

Prove que a área de uma região triangular equilátera de lado l é dada por A=l²raiz de 3/4

Answer 1

Boa noite!

Solução!

Um triângulo equilátero tem três lados iguais,traçando uma reta que parte de qualquer um dos vértices ao ponto   médio de um dos lados.

$Aplicando~~ o ~~teorema~~ de ~~Pitagoras.\\\\\\\\ l^{2} =h^{2}+( \frac{l}{2})^{2} \\\\\\ l^{2} =h^{2}+\frac{l^{2} }{4} \\\\\\ 4l^{2}=4h^{2}+l^{2}\\\\\\\ 4l^{2}-l^{2}=4h^{2}\\\\\\\ 3l^{2}=4h^{2}$

$h^{2}= \dfrac{3l^{2} }{4}\\\\\ h= \sqrt{ \dfrac{3l^{2} }{4} }\\\\\\ \boxed{h= \dfrac{l \sqrt{3} }{2}}$

A área de um triângulo é dada por:

$Area= \dfrac{l \times altura}{2}$


$Area= \dfrac{l\times\dfrac{l\sqrt{3} }{2}}{2} \\\\\\\ Area= \dfrac{\dfrac{l^{2} \sqrt{3} }{2}}{2} \\\\\\\ Area= \dfrac{l^{2} \sqrt{3}}{2}\times \dfrac{1}{2}\\\\\\ \boxed{Area= \dfrac{l^{2} \sqrt{3}}{4}}\\\\\\\ Esta~~provado$

Boa noite!
Bons estudos!