Question

Conjuntos (50 Pontos)

Classicar em V ou F a seguinte sentença

a) (A - B) ∪ (B - A) = (A ∪ B) - (A ∩ B)

Explicar como chegou a conclusão de V ou F

Answer 1

Boa noite Luiz!

Solução!

Vamos lembrar de algumas proposições de conjunto complementar.
Para provar a igualdade pode-se trabalhar com o lado esquerdo ou o lado direito no nosso caso vamos provar que o lado esquerdo é igual ao lado direito.


$(A-B)\cup(B-A)=(A\cup B)-(A\cap B)\\\\\\\\ A-B=\{x\in u: x\in A ~~e ~~x \not\in B\}\\\\\\\ B-A=\{x\in u: x\in B ~~e ~~x \not\in A\}$


Lembrando também que quando falamos de diferença de conjuntos,nos remete ao conjunto complementar.


Como são subconjuntos de U logo!


$A-B\subseteq A\\\\ B-A\subseteq B$


 $(A-B)$Se o conjunto de elementos que estão em  $A$ mas não estão  $B=A-(A\cup B)$


Com raciocínio análogo!


 $(B-A)$ São conjunto de elementos que estão em  $B$ mas não estão 
$A=B-(A\cap B)$


Com isso concluímos que: 

 
$(A-B)=(A\cup B)\\\ (B-A)=(A\cap B)$


Então!


$(A-B)\cup(B-A)=(A\cup B)-(A\cap B)\\\\\\\\ (A\cup B)-(A\cap B) = (A\cup B)-(A\cap B)$


Com as proposições demonstradas acima prova a veracidade da igualdade.


Boa noite!
Bons estudos!