Question

diga - me porque cos 45º = √2/2 ? 

Answer 1

Podemos traçar a diagonal de um quadrado, formando 2 triângulos retângulos de catetos 'x', 'x' (medida do lado do quadrado) e hipotenusa 'd' (diagonal do quadrado).

Podemos calcular a diagonal do quadrado em função do lado, pelo teorema de pitágoras:

$(hip)^{2}=(cat)^{2}+(cat)^{2}\\d^{2}=x^{2}+x^{2}\\d^{2}=2x^{2}\\d=\sqrt{2x^{2}}\\d=\sqrt{2}*\sqrt{x^{2}}\\d=\sqrt{2}*x\\d=x\sqrt{2}$

Fazendo o cosseno de um dos ângulos de 45º:

$cos~x=cateto~adjacente/hipotenusa\\cos~45\º=x/d\\cos~45\º=x/(x\sqrt{2})\\cos~45\º=1/\sqrt{2}$

Racionalizando:

$cos~45\º=(1/\sqrt{2})*(\sqrt{2}/\sqrt{2})\\cos~45\º=\sqrt{2}/(\sqrt{2}*\sqrt{2})\\cos~45\º=\sqrt{2}/2$

Answer 2

diga - me porque cos 45º = √2/2 ? 

ângulo de 45º
 
 Partindo de um quadrado qualquer ABCD.
de lado L, traçando um  DIAGONAL( AC) 
obtendo o triangulo retangulo ABC

de angulos agudos iguais 45º
cuja hipotenusa mede                                                                                                              ( L√2)

         
             |
             |             a = hipotenusa
 c= L     |
             |
             |______________       atençao NÃO DA PARA PASSAR O TRAÇO DA DIAGONAL
                      b = L                                 POR aquii(que é a hipotenusa = a)

teorema de pitagoras
ACHAR a hipotenusa
Provar que a hipotenusa mede                                                                                              ( L√2)
a= hipotenusa = ?
b = cateto MAIOR = L
c = cateto menor  = L

a² = b² + c²
a² = L² + L²
a² = 2L²
a =  √2 L²
a =   √2√L²  elimina √ com o (²)
a = √2 . L
a = L√2
                        cateto adjacente
cosseno 45º = -------------------
                          hipotenusa

cateto adjacente = cateto menor = L
hipotenusa = a = L√2


                  L              L√2            L √2           elimina L(numerador)
cos 45º = ------  =   ----------  =      -------- =      
                 L√2           L√2√2          L √4        elimina L(denominador)  e √4 = 2

                                                         √2
  então fica assim          cos 45º = ---------
                                                           2