Question

como escrever polinômios na forma fatorada para representar a área de uma figura .

Answer 1

1. Introdução Observe a figura: Qual é a forma fatorada da expressão algébrica que representa a área total hachurada do quadrado x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz? 2. Fatoração de polinômios produto [do latim productu]: resultado de uma multiplicação. notável [do latim notabile]: digno de nota. fatorar [de fator + -ar]: decompor num produto de fatores. fator [do latim factore]: que contribui para um resultado. fatoração [de fatorar + -ção]: operação de fatorar. Observe a figura: Na figura anterior, temos que os termos x2, y2 e z2 são quadrados perfeitos, a área total hachurada é um quadrado de lado x + y + z, e temos que R1 e R2 possuem área igual a x . y, R3 e R4, possuem área igual x . z e R5 e R6 possuem área igual a y . z. Assim, a área total hachurada é um quadrado da soma de três termos, ou seja, (x + y + z)2, que cujo desenvolvimento é x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz. Assim: (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz ou x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz = (x + y + z)2 = (x + y + z) . (x + y + z) Observe que o polinômio x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xy + 2xz + 2yz é um quadrado perfeito, pois x2 + y2 + z2 são quadrados e 2xy, 2xz e 2yz são o dobro do produto dos lados de Q1 e Q2, Q1 e Q3 e Q2 e Q3, respectivamente. Dizemos que (x + y + z) . (x + y + z) ou (x + y + z)2 é a forma fatorada de x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz. Veja como determinamos a forma fatorada do polinômio que representa a área total da figura ao lado. Na figura, os quadrados perfeitos possuem área 4x2, y2 e 4; logo, os lados dos quadrados são 2x, y e 2, respectivamente, que serão, dois a dois, lados dos retângulos. R1 e R2 possuem lados 2x e y, R3 e R4 possuem lados 2x e 2, e R5 e R6 possuem lados y e 2 e áreas 2xy, 4x e 2y, respectivamente. A expressão algébrica que representa a área total hachurada é: 4x2 + y2 + 4 + 2 . 2xy + 2 . 4x + 2 . 2y = 4x2 + y2 + 4 + 4xy + 8x + 4y O polinômio 4x2 + y2 + 4 + 4xy + 8x + 4y é um quadrado da soma de 2x, y e 2. Qual é a forma fatorada do polinômio? Desenvolvendo o produto notável (quadrado da soma de três termos), obtemos um polinômio que é um quadrado perfeito e, fatorando esse polinômio, obtemos o quadrado da soma de três termos. Assim, para o primeiro exemplo, temos: Observe como fatoramos o polinômio: O quadrado do primeiro termo, mais o quadrado do segundo termo, mais o quadrado do terceiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo termo, mais duas vezes o produto do primeiro termo pelo terceiro termo, mais duas vezes o produto do segundo termo pelo terceiro termo. = quadrado da soma do primeiro, segundo e terceiro termos. ∆tomara que ajudei,um beijão!