Question

Considere a “função custo” e a “função receita” para um certo produto, definidas, respectivamente, por C(x) = 2x + 18 e R(x) = 13x – x2, em que x indica milhares de unidades produzidas e comercializadas por mês e C e R representam milhares de reais. A receita será maior do que o custo quando o número de unidades produzidas e comercializadas por mês estiver no intervalo:

Answer 1

Oi Cleo

C(x) = 2x + 18

R(x) = 13x - x² 

R(x) > C(x)

13x - x² > 2x + 18

-x² + 11x - 18 > 0

delta
d² = 121 - 72 = 49
d = 7

x1 = (-11 + 7)/-2 = -4/-2 = 2
x2 = (-11 - 7)/-2 = -18/-2 = 9

A receita será maior entre 2000 a 9000 unidades 

. 

Answer 2

A receita será maior do que o custo quando o número de unidades produzidas e comercializadas por mês estiver no intervalo (2000,9000).

Os intervalos são:

a) (2.000; 9.000)

b) (500; 1.000)

c) (1.000; 2.000)

d) (2.000; 9.000)

e) (9.000; + ∞)

Solução

Queremos que a função r(x) = 13x - x² seja maior que a função c(x) = 2x + 18.

Então, podemos montar a seguinte inequação:

13x - x² > 2x + 18

-x² + 13x - 2x - 18 > 0

-x² + 11x - 18 > 0

x² - 11x + 18 < 0.

Perceba que a equação x² - 11x + 18 = 0 é uma equação do segundo grau.

Como queremos a parte menor que zero, então devemos analisar o intervalo no qual a função y = x² - 11x + 18 é negativa.

Para isso, vamos calcular as raízes. Utilizando a fórmula de Bhaskara:

Δ = (-11)² - 4.1.18

Δ = 121 - 72

Δ = 49

Como Δ > 0, então a equação possui duas soluções reais distintas:

$x=\frac{11+-\sqrt{49}}{2}$

$x=\frac{11+-7}{2}$

$x'=\frac{11+7}{2}=9$

$x''=\frac{11-7}{2}=2$.

Portanto, as soluções da equação x² - 11x + 18 = 0 são 2 e 9.

A parábola que descreve a função y = x² - 11x + 18 possui concavidade para cima. Sendo assim, a parte negativa estará entre as soluções, ou seja,

2 < x < 9.

Portanto, o intervalo correto é o da alternativa a).

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