Question

Calcule a integral efetuando uma mudanca de variaveis apropriada.
∫∫cos(y-x/y+x)dA
onde D e a regi~ao trapezoidal com vertices (1, 0), (2, 0), (0, 2) e (0, 1)

gabarito:3/2sin1

Answer 1

|(0,2)
|       \
|          \
|(0,1)     \
|    \          \
|      \           \
-------(1,0)-----(2,0)---------------

Determinando a reta partindo do ponto (0,2) a (2,0)

$\\ r_{1} = det \left[\begin{array} {ccc}x&y&1\\0&2&1\\2&0&1\end{array}\right] \\ \\ r_{1} = 2x+2y+0-(4+0+0) \\ \\ r_{1} = 2x+2y-4 \\ \\ 2x+2y-4 = 0 \\ \\ x+y-2 = 0 \\ \\ y +x= 2$

Agora achando a reta partindo do ponto (0,1) a (1,0)

$\\ r_{2} = det \left[\begin{array}{ccc}x&y&1\\0&1&1\\1&0&1\end{array}\right] \\ \\ r_{2} = x+y+0-(1+0+0) \\ \\ r_{2} = x+y-1 \\ \\ x+y-1=0 \\ \\ y +x= 1$
---------------------------------------

O intervalo entre os pontos (1,0) e (2,0) é a reta "Y =0"

O intervalo entro os pontos (0,1) e (0,2) é a reta "X = 0"

x = 0
y = 0
y+x =1
y+x = 2
--------------------------

Vamos fazer,
 
x - y = u

e

x + y = v
---------------------

Resolvendo o sistema:

x-y = u

x+y = v

vamos somar ambas:

$\\ 2x = u+v \\ \\ x = \frac{1}{2} (u+v)$

Substituindo x = 1/2(u+v) em umas das equações teremos:


$\\ y+x = u \\ \\ y = u - x \\ \\ y = u - \frac{1}{2} (u+v) \\ \\ y = u - \frac{1}{2} (u) - \frac{1}{2} (v) \\ \\ y = \frac{1}{2} (u-v)$
---------------------------------------------

Agora temos que calcular o jacobiano:

$jac = \left[\begin{array}{ccc} \frac{dx}{du} &\frac{dx}{dv} \\\frac{dy}{du} &\frac{dy}{dv} \\\end{array}\right]$

x = 1/2(u+v)

dx/du = 1/2

dx/dv = 1/2
--------------------------------

y = 1/2(u-v)

dy/du = 1/2

dy/dv = -1/2
---------------------------

Logo,

$\\ Jac = \left[\begin{array}{ccc} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\\end{array}\right] \\ \\ Jac = \frac{1}{2}*-\frac{1}{2}-(\frac{1}{2}*\frac{1}{2}) \\ \\ Jac = -\frac{1}{2}$

Lembrando que queremos o módulo:

$|jac| = \frac{1}{2}$
----------------------------------

Fazendo o gráfico de u e v :

Como x+y = v

E x+ y = 1 ou x+y = 2

Então:

1 ≤ v ≤ 2

Vamos substituir x = 0  e y = 0 nas igualdades

$\\ x = \frac{1}{2} (u+v) \\ \\ 0 = \frac{1}{2} (u+v) \\ \\ 0 = u+v \\ \\ v = - u$

Agora para y = 0

$\\ y = \frac{1}{2} (u-v) \\ \\ 0 = \frac{1}{2} (u-v) \\ \\ 0 = u - v \\ \\ v = u$
-----------------------------------------



             |
  -------   |--------- 2
 \           |          /
  \          |        /   
     -------------  1    
             |  
             --------------------------------
                                                u

A reta positiva é v = u, ou u = v

A reta decrescente é v = -u, ou u = -v
-----------------------------------------

Vamos integrar como v constante, assim calcularemos apenas uma integral:

- v ≤ u ≤ v
        
 1≤   v ≤ 2
---------------------------------


Nossa integral fica:

$\\ \int\limits {} \, \int\limits {} \, Cos( \frac{y-x}{y+x} )dA = \int\limits {} \, \int\limits {} \, Cos( \frac{u}{v} )|jac|dudv =$

Substituindo os limites teremos:

$\\ 1/2*\int\limits^2_1 {} \, \int\limits^v_ \frac{-v}{} {} \, Cos( \frac{u}{v} )dudv$

Lembrando que:

$\int\limits {Cos(kx)} \, dx = \frac{Sen(kx)}{k}$

Então:

$\int\limits {Cos( \frac{u}{v} )} \, du = \frac{Sen( \frac{u}{v} )}{ \frac{1}{v} } = vSen( \frac{u}{v} )$
----------------------------

$\\ 1/2*\int\limits^2_1 {vSen( \frac{u}{v} )|(-v,v)} \, dv \\ \\ 1/2*\int\limits^2_1 {vSen( \frac{v}{v} ) -vSen(-\frac{v}{v} )dv$

$\\ = 1/2*\int\limits^2_1 {vsen(1) -vSen(-1)} \, dv$

Sabemos que:

Sen(-x) = - Sen(x)

Logo,

Sen(-1) = -Sen(1)
----------------------

$\\ = 1/2*\int\limits^2_1 {vSen(1) - (-1)Sen(1)} \, dv \\ \\ = 1/2*\int\limits^2_1 {2vSen(1) } \, dv \\ \\ = 1/2*\frac{2v^2Sen(1)}{2} |(1,2) \\ \\ = 1/2*v^2Sen(1)|(1,2) \\ \\ = 1/2*(2^2Sen(1) - 1^2Sen(1) )\\ \\ = (3/2)*Sen(1)$