Question

numa escola a razão do numero de professores para o numero de auxiliares e de 16 : 2 que conclusão podemos tirar da informação dada ? se o numero total de professor e axiliares for igaul a 180 quantos professores e quantos auxiliares tem a escola

Answer 1

Seja

     •  x = número de professores;

     •  y = número de auxiliares.


Se a razão de x para y é 16:2, devemos ter

     $\mathsf{\dfrac{x}{y}=\dfrac{16}{2}}\\\\\\ \mathsf{2x=16y}\\\\\\ \mathsf{2x-16y=0\qquad\quad(i)}$


O total de professores e auxiliares é 180. Logo,

     $\mathsf{x+y=180\qquad\quad(ii)}$


Resolva o sistema formado pelas equações (i) e (ii):

     $\left\{\! \begin{array}{rcrcrc}\mathsf{2x}&\!\!\!-\!\!\!&\mathsf{16y}&\!\!=\!\!&\mathsf{0}&\qquad\mathsf{(i)}\\ \mathsf{x}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{y}&\!\!=\!\!&\mathsf{180}&\qquad\mathsf{(ii)} \end{array}\right.$


Vamos resolver pelo método da substituição. Isole y na equação (ii) e substitua na equação (i):

     $\mathsf{x+y=180}\\\\ \mathsf{y=180-x}\\\\\\\ \mathsf{2x-16y=0}\\\\ \mathsf{2x-16\cdot (180-x)=0}\\\\ \mathsf{2x-16\cdot 180+16x=0}\\\\ \mathsf{2x-2880+16x=0}\\\\ \mathsf{2x+16x=2880}\\\\ \mathsf{18x=2880}\\\\ \mathsf{x=\dfrac{2880}{18}}$

     $\mathsf{x=160}$        ✔


Agora, encontramos o valor de y:

     $\mathsf{y=180-x}\\\\ \mathsf{y=180-160}$

     $\mathsf{y=20}$        ✔

—————

Outra forma para responder:

Você pode aplicar uma das propriedades de proporção:

     $\mathsf{\dfrac{x}{y}=\dfrac{16}{2}}\\\\\\ \Longrightarrow\quad\mathsf{\dfrac{x+y}{y}=\dfrac{16+2}{2}}\\\\\\ \Longrightarrow\quad\mathsf{\dfrac{x+y}{y}=\dfrac{18}{2}}$


Mas x + y = 180:

     $\mathsf{\dfrac{180}{y}=\dfrac{18}{2}}\\\\\\ \mathsf{18y=180\cdot 2}\\\\ \mathsf{18y=360}\\\\ \mathsf{y=\dfrac{360}{18}}$

     $\mathsf{y=20}$        ✔


Novamente encontramos

     $\mathsf{x+y=180}\\\\ \mathsf{x=180-y}\\\\ \mathsf{x=180-20}$

     $\mathsf{x=160}$        ✔


Na escola há 160 professores e 20 auxiliares.


Bons estudos! :-)