Question

resolva a equação: x³ - 11x² + 38x - 40 = 0 Sabendo que 4 é uma raiz.

Answer 1

Seja $p(x)$ um polinômio. O teorema do resto nos diz que o resto da divisão de $p$ por um binômio $x-a$ é $p(a).$
Assim, como $4$ é solução de $x^3 - 11x^2 + 38x - 40$, então o binômio  $x-4$ divide $<span>x^3 - 11x^2 + 38x - 40.$

Realizando a divisão dos polinômios:

$\begin{array}{rrrrrl} &x^2&-7x&+10 \\ x-4\quad|& x^3& - 11x^2& + 38x& - 40 \\ &-x^3&+4x^2&&&[-x^2(x-4)] \\ &&-7x^2&+38x&-40 \\ &&+7x^2&-28x&&[+7x(x-4)] \\ &&&10x&-40 \\ &&&-10x&+40 &[-10(x-4)] \\ &&&&0 \end{array}$

Logo, podemos escrever a equação original como

$(x-4)(x^2-7x+10)=0.$

As soluções do polinômio de grau 2 à direita são facilmente encontradas com a fórmula quadrática ou por soma e produto, e são elas $2$ e $5$. Assim, o conjunto de soluções da equação é

$\boxed{S = \{2, 4, 5\}}.$