Question

Regra do produto em derivadas:
Mostre que se $f(x)$ e $g(x)$ são deriváveis em x, então:
$\frac{d[f(x)g(x)]}{dx}=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$

Answer 1

Para conseguirmos provar que a regra do produto é dada por a expressão acima mencionada, precisamos aplicá-la na definição de derivada, que é dada por um limite:

[f(x)g(x)]' = $\lim_{h \to \+0} \frac{f(x + h)g(x + h) - f(x)g(x)}{h}$

= $\lim_{h \to \+0} \frac{f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x+h) + f(x)g(x+h) - f(x)g(x)}{h}$

= $\lim_{h \to \+0} \frac{f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x+h)}{h} + \lim_{h \to \+0} \frac{f(x)g(x+h) - f(x)g(x)}{h}$

= $\lim_{h \to \+0} \frac{[f(x+h)-f(x)]g(x+h)}{h} + \lim_{h \to \+0} \frac{f(x)[g(x+h)g(x)]}{h}$

= $\lim_{h \to \+0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} . \lim_{h \to \+0} g(x+h) . \lim_{h \to \+0} f(x) . \lim_{h \to \+0} \frac{g(x+h)g(x)}{h}$

= f'(x) . g(x) + f(x) . g'(x)

Essa é prova da regra do produto utilizando a definição de derivada.

Espero ter ajudado.