Question

Se um número, representado no sistema de numeração decimal, tem todos os seus dígitos iguais a 7 e é divisível por 99, qual o menor número de dígitos que ele pode ter??
a)9
b)12
c)15
d)18 - GABARITO
e)21

AJUDA PFVR

Answer 1

Eu acho que vou estar roubando um pouco, mas vamos pensar assim:

A regra de divisibilidade por 9 diz que um número é divisível por 9 quando a soma do valor absoluto de seus algarismos dá 9. 
Por exemplo: 639
6 + 3 + 9 = 18
1 + 8 = 9

Todos os múltiplos de 9 sempre serão assim.

O primeiro múltiplo de 7 que também é múltiplo de 9 é o 63. Ou seja, o 7, nove vezes.
Então, o 7 terá que aparecer pelo menos um número de vezes que seja múltiplo de 9. Nas opções, apenas duas alternativas são múltiplos de 9. O A e o D. 

Isso já elimina 3 das 5 alternativas, ficamos entre 9 e 18. 

777777777 é divisível por 9, mas não por 99.

Isso elimina a possibilidade de marcarmos a A. Então só resta a D.

Desculpa ter dado uma explicação horrível, mas realmente não consegui pensar em outra forma :(

Answer 2

Se um número é divisível por 99 ele é divisível por 9x11, ou seja, por 9 e por 11 ao mesmo tempo. Se ele é divisível por 9, a soma dos seus dígitos é divisível por 9; e se ele é divisível por 11, a quantidade de dígitos deve ser par, tendo em vista que a soma dos alternados subtraído pela outra soma dos alterados deve ser divisível por 11. Se a quantidade for par, a subtração é igual a 0, e se for impar será igual a 7 (que não é divisível por 11). Temos então que a quantidade de 7 deve ser múltiplo de 9 e deve ser par. Logo, o menor número que atende a essas exigências é o 18