Question

Qual a medida de cada ângulo interno do polígono regular que possui 20 diagonais?

Answer 1

d = n.(n - 3 )  / 2
20 = n² - 3 n /2
40 = n² - 3 n
n² - 3 n = 40
n² - 3 n - 40 = 0
Δ = b² - 4.a.c
Δ = (-3)² - 4.1 . -40
Δ = 9 + 160
Δ = 169 ⇒√169= 13
n = -b + ou - 13/2.1
n´= -(-3) + 13/2 ⇒ 3 + 13 /2 = 18/2 = 9
n´´ = 3 - 9/2 ⇒-6/2 = -3 devemos desprezar o número negativo
S i = (n - 2 ) . 180
S i = 9 - 2 .180
S i = 7. 180
S i = 1260
â i = 1260/9 ⇒140°
Cada ângulo interno mede 140°

Answer 2

Vamos logo calcular o número de lados desse polígono. 
Veja que a fórmula que nos dá o número de lados de um polígono, conhecendo-se o número de diagonais é dada por: 

d = n*(n-3)/2, em que "d" é o número de diagonais e "n" é o número de lados. 

Assim, fazendo as devidas substituições na fórmula acima, temos: 

20 = n*(n-3)/2 ----- multiplicando em cruz, temos: 

2*20 = n*(n-3) 
40 = n*(n-3) -----desenvolvendo a multiplicação do 2º membro, temos: 

40 = n³ - 3n -----passando 40 para o 2º membro, temos: 

n² - 3n - 40 = 0 ----- aplicando Bháskara, você encontra as seguintes raízes: 

n' = 8 
n'' = -5 

Como não existe número negativo de lados de um polígono, então tomamos apenas a raiz positiva e igual a: 

n = 8 <----Esse é o número de lados do nosso polígono. É um octógono. Tem 8 lados. 

Agora vamos para a medida do ângulo externo do octógono. 
Veja que a fórmula para calcular a medida de um ângulo externo de um polígono qualquer é dada por: 

ae = 360º/n, em que "ae" é a medida do ângulo externo e "n" é o número de lados. 
Assim, fazendo as devidas substituições na fórmula acima, temos: 

ae = 360º/8 

ae = 45º <----Pronto. Essa é a resposta. Um ângulo externo do octógono mede 45º. 

É isso aí. 

OK?