Question

Se x e y são números reais tais que x³ + y³ = 5(x + y) , x² + y² = 4 e x + y ≠ 0 , determine o valor de xy ?
a) 4
b) 3
c) 1
d) 0
e) -1

Answer 1

x³+y³=(x+y)³-3x²y-3xy² (I)
temos ainda que x³+y³=5(x+y) (II) 
e x²+y²=(x+y)²-2xy=4(III)
Comparando (I) com (II) temos:
(x+y)³-3x²y-3xy²=5(x+y) (IV)
(x+y)³-5(x+y)-3x²y-3xy²=0
(x+y)³-5(x+y)-3xy(x+y)=0(V)
como temos que x+y$\neq$0 então podemos dividir ambos os lados de (V) por x+y, obtendo:
(x+y)²-3xy-5=0(VI)
De (III) obtemos:
-xy=(-(x+y)²+4)÷2
logo -3xy=3×(-(x+y)²+4)÷2(VII)
substituindo (VII) em (VI) temos:
-(x+y)²+12-10=0
logo (x+y)²=2
(x+y)²=x²+2xy+y²=2
Sabemos de (III) que x²+y²=4 então
4+2xy=2=>2xy=-2=>xy=-1.
Logo o produto xy vale -1
letra e)

Answer 2

(x³+y³) = (x+y)(x²-xy+y²)  

x³+y³ = 5(x + y)
(x+y)(x²-xy+y²) =5 (x+y)
(x²-xy+y²) = 5(x+y)/(x+y)
(x²-xy+y²) = 5
x²+y²-xy = 5     se x²+y² = 4
4-xy=5
-xy=5-4
-xy=1  multiplicando por -1
xy=-1

Alternativa "e".