Question

Com os algarismos x, y e z formam-se os números de dois algarismos xy e yx, cuja soma é o número de três algarismos zxz. Quanto valem x, y e z?

Answer 1

Olá Eloísa!

 Segundo o enunciado, $\mathsf{XY + YX = ZXZ}$.

 Então, de acordo com a definição de sistema de numeração, teremos:

$\\ \mathsf{XY + YX = ZXZ} \\\\ \mathsf{(X \cdot 10^1 + Y \cdot 10^0) + (Y \cdot 10^1 + X \cdot 10^0) = (Z \cdot 10^2 + X \cdot 10^1 + Z \cdot 10^0)} \\\\ \mathsf{10X + Y + 10Y + X = 100Z + 10X + Z} \\\\ \boxed{\mathsf{11Y + X = 101Z}}$

 Uma vez que {0, 1, 2,..., 8, 9} são os possíveis algarismos, podemos tirar que o valor de "Y" só poderá ser NOVE (de acordo com a equação em destaque), pois se não fosse, não teria como obter uma soma com 3 dígitos (tomemos como exemplo o 8: 88 + x = 101z, 88 + 9 = 97; como pode notar, a maior possibilidade para Y é o maior algarismo, ou seja, 9).

 $\mathsf{\quad Ora, \ j\acute{a} \ que \ \boxed{\boxed{\mathsf{Y = 9}}}, ent\~ao:} \\\\ \mathsf{11Y + X = 101Z} \\\\ \mathsf{11 \cdot 9 + X = 101 \cdot Z} \\\\ \mathsf{99 + X = 101 \cdot Z}$

$\\ \mathsf{\qquad A \ igualdade \ ser\acute{a} \ verdadeira \ apenas \ se \ o \ lado \ esquerdo \ da \ equac\~ao \ for \ um \ m\acute{u}ltiplo \ de \ 101.}$

$\mathsf{ \ Portanto, \boxed{\boxed{\mathsf{X = 2}}}}.}$

$\\ \mathsf{\qquad Com \ efeito,} \\\\ \mathsf{99 + X = 101Z} \\\\ \mathsf{99 + 2 = 101Z} \\\\ \mathsf{101Z = 101} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{Z = 1}}}$

 Boa questão!!