Question

Calcule m na equação (m-1) X ao quadrado + 8x - 3=0 para que o produto as raízes seja 5

Answer 1

(m-1)x² + 8x - 3 = 0       vamos pensar como nx² + 8x - 3 = 0, onde n = m-1
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x' é representado por -b + √Δ / 2a
x'' é representado por -b - √Δ / 2a
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Neste caso:
Δ = b² - 4ac
Δ = 8² - 4.(n).-3
Δ = 64 + 12n
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x' . x'' = 5
(-b + √Δ/2a)(-b - √Δ/2a) = 5         substituindo tudo:
(-8 + √(64+12n)/2n)(-8 -√(64+12n)/2n) = 5

Use o produto notavel: (a+b)(a-b) = a² - b² , logo:

(-8 + √(64+12n)/2n)(-8 -√(64+12n)/2n) = 5
(64 - √(64+12n)²)/4n² = 5             a potencia anula a raiz,logo:
(64 - (64+12n))/4n² = 5
64 - 64 - 12n = 5. 4n² 
-12n = 20n²
-12n - 20n² = 0        simplifica por -4
5n² + 3n = 0

Bhaskara:
b² - 4ac
3² -4.5.0
9 - 0
9 = delta  

n = -b +/- √Δ / 2a
n = -3 +/- √9 / 2.5
n = -3 +/- 3 / 10

n' = -3+3/10 = 0/10 = 0 <<< esse desconsidera, pois em uma equação do segundo grau o a não pode ser 0.
n'' = -3-3/10 = -6/10 = - 3/5 ou - 0,6
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Agr basta trocar:

n = m-1
-0,6 = m-1
m = -0,6 + 1
m = 0,4 (ou 2/5)
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Prova real:      substituindo m:
(0,4 -1)x² + 8x - 3 = 0
-0,6x² + 8x - 3 = 0

Bhaskara:
b² - 4ac
8² - 4.-0,6.-3
64 - 7,2
56,8 = Delta

x = -b +/- √56,8/2a
x = -8 +/- √56,8/2.-0.6
x = -8 +/- √56,8/-1,2

Agr vamos ver quanto é o produto das raízes:
(-8 + √56,8/-1,2)(-8 - √56,8/-1,2) = 
64 - (√56,8)² /1,44 =  
64 - 56,8/1,44 =
7,2/1,44 = 
5

Bons estudos