Question

Verifique se a função f (x) = x^5 − 3x^3 admite pontos de inflexão.

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos concluímos que a referida função polinomial possui ao todo três pontos de inflexão e eles são, respectivamente:

    $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf I' = (-0,95,\,1,78)\:\:\:}}\end{gathered} }$

              $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf I'' = (0,\,0)\:\:\:}}\end{gathered} }$

   $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf I''' = (0,95,\,-1,78)\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja a função:

               $\Large\displaystyle\begin{gathered} f(x) = x^{5} - 3x^{3}\end{gathered}$

Sabemos que o ponto de inflexão de uma função é o ponto no qual ocorre a inversão no sentido de abertura da concavidade de seu gráfico, isto é, o sentido de abertura da concavidade deixa de estar orientado para cima e passa a ser orientado para baixo - ou vise-versa.

Para calcularmos o ponto de inflexão de uma função, devemos:

• Calcular a derivada primeira da função:

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} f'(x) = 1\cdot5\cdot x^{5 - 1} - 3\cdot3\cdot x^{3 - 1} = 5x^{4} - 9x^{2}\end{gathered}$

• Calcular a derivada segunda da função:

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} f''(x) = 5\cdot4\cdot x^{4 - 1} - 9\cdot2\cdot x^{2 - 1} = 20x^{3} - 18x\end{gathered}$

• Determinar as abscissas dos pontos de inflexão:

        A abscissa do ponto de inflexão será sempre o valor numérico de "x" quando a derivada segunda for igual a "0", ou seja:

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} f''(x) = 0\end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} 20x^{3} - 18x = 0\end{gathered}$

       Observe que esta equação é do terceiro grau - equação cúbica. Deste modo, a referida equação sempre terá três raízes complexas.

       Colocando "x" em evidência, temos:

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} x\cdot (20x^{2} - 18) = 0\end{gathered}$

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} x' = 0\end{gathered}$

        Calculando as outras duas raízes temos:

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} 20x^{2} - 18 = 0\end{gathered}$

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} 20x^{2} = 18\end{gathered}$

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} = \frac{18}{20}\end{gathered}$

                                     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} x = \pm\sqrt{\frac{18}{20}}\end{gathered} }$

                                      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} x = \pm \frac{3\sqrt{10}}{10}\end{gathered} }$

                                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} x \cong\pm0,95\end{gathered}$  

        Organizando as raízes da equação - abscissas dos pontos de inflexão - temos o seguinte conjutno solução:

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} S = \{-0,95,\,0,\,0,95\}\end{gathered}$

• Obter as ordenadas dos pontos de inflexão:

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} \textrm{Se}\:x' \cong -0,95\end{gathered}$

               $\Large\displaystyle\begin{gathered} y' \cong -\left[(0,95)^{5}\right] - 3\cdot(-0,95)^{3}\cong 1,78\end{gathered}$

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} \textrm{Se}\:x'' = 0\end{gathered}$

               $\Large\displaystyle\begin{gathered} y'' = 0^{5} - 3\cdot0^{3} = 0\end{gathered}$

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} \textrm{Se}\:x''' \cong 0,95\end{gathered}$

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} y''' \cong \left[(0,95)^{5}\right] - 3\cdot(0,95)^{3}\cong -1,78\end{gathered}$

• Montar os pontos de inflexão:

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} I' = (-0,95, \,1,78)\end{gathered}$

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} I'' = (0,\,0)\end{gathered}$

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} I''' = (0,95,\, -1,78)\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$