Question

Analisando o gráfico abaixo, que mostra o gráfico (recorte) de uma função y=f(x). Responda:


a) Que tipo de função o gráfico representa?
b) Qual é o domínio da função?
c) Qual é o conjunto imagem da função?
d) Determine, aproximadamente, o valor das raízes da função.
e) Faça o estudo do sinal da função.
f) Identifique os intervalos de crescimento e decrescimento da função.

Answer 1

a) Uma função de segundo grau, do tipo y = ax²+bx+c
b) Domínio dos números reais.
c) Observe que você tem as raízes da equação, que são 2 e 3. Além do termo c (quando x é zero), que é 6.
Portanto, y = ax²+bx+6.
x=2 => y = 0, daqui podemos tirar:
4a + 2b + 6 = 0 (*)
x=3 => y=0, daqui podemos tirar:
9a + 3b + 6 = 0 (**)

Isolando a de (**) e substituindo em (*)
a = -(b+2)/3 (***), substituindo,
-4(b+2)/3 + 2b + 6 = 0
2b/3 = 8/3 - 6
2b = 8 - 18 = -10
b = -5
Substituindo b = -5 em (***), a = 1.
Logo, a equação é: y = x² - 5x + 6

Para saber qual o ponto de mínimo basta verificar onde a derivada se anula;
(x² - 5x + 6)' = 0 <=> 2x - 5 = 0 => x = 5/2
Se você não quer usar derivada, basta usar a expressão do Xvértice e Yvértice (que basicamente é a derivada da equação genérica de uma expressão de segundo grau, Xv = -b/(2a) = -(-5)/2 )...
Para x = 5/2, y = 25/4 - 25/2 + 6 = -6.5.
Portanto, a imagem da função vai de y = -6.5 até infinito.
Ou seja, Im = [-6.5, inf).

d) Raízes são onde y = 0. Portanto, x = 2 e x = 3.

e) A função é positiva para todo x < 2 ou x > 3. E negativa para todo x>=2 e x<=3.

f) Você pode fazer um estudo usando derivada. Mas não há necessidade aqui. A função é decrescente para todo x < 5/2 e crescente para todo x > 5/2.
Em x = 5/2 ela não cresce nem decresce.