Question

O produto de duas das raízes da equação 4x^3 - 33x^2 + 68x - 15 = 0 é 3/4. A soma das duas maiores raízes da equação é:
a) 13/4
b) -2
c) 21/2
d) 8
e) 11

Answer 1

 Olá!

 Sabemos das Relações de Girard que:

$\\ \begin{cases} \mathsf{x_1 + x_2 + x_3 = - \frac{b}{a}} \\ \mathsf{x_1 \cdot x_2 + x_1 \cdot x_3 + x_2 \cdot x_2 = \frac{c}{a}} \\ \mathsf{x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = - \frac{d}{a}}\end{cases} \\\\ \mathsf{Onde, ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \ \acute{e} \ uma \ equac\~ao \ de \ grau \ 3.}$

 Portanto, de acordo com o enunciado,

$\\ \mathsf{\underbrace{\mathsf{x_1 \cdot x_2}}_{\frac{3}{4}} \cdot x_3 = - \frac{d}{a}} \\\\\\ \mathsf{\frac{3x_3}{4} = - \frac{- 15}{4}} \\\\\\ \mathsf{\frac{3x_3}{4} = \frac{15}{4}} \\\\ \boxed{\mathsf{x_3 = 5}}$

 $\mathsf{Isto \ posto, \ podemos \ tirar \ que \ (x - 5) \ divide \ o \ polin\widehat{o}mio \ do \ enunciado.}$  

 Dividindo,

+ 4x³ - 33x² + 68x - 15 | x - 5
------------------------------| 4x² - 13x + 3
+ 4x³ - 33x²
- 4x³ + 20x²
------------------------------
- 13x² + 68x
+ 13x² - 65x
------------------------------
+ 3x - 15
- 3x + 15
------------------------------
0

$\mathsf{Da\acute{i}, \ temos \ que \ 4x^3 - 33x^2 + 68x - 15 = (x - 5) \cdot (4x^2 - 13x + 3).}$

 Ora, por conseguinte, encontramos as raízes da equação de grau dois e concluímos. Veja:

$\\ \mathsf{4x^3 - 33x^2 + 68x - 15 =} \\ \mathsf{(x - 5) \cdot (4x^2 - 13x + 3) =} \\ \mathsf{(x - 5) \cdot (4x^2 - 12x - x + 3) =} \\ \mathsf{(x - 5) \cdot \left [ 4x(x - 3) - 1(x - 3) \right ] =} \\ \mathsf{(x - 5) \cdot (x - 3) \left [ 4x - 1 \right ] =} \\ \mathsf{(x - 5) \cdot (x - 3) \cdot (4x - 1)}$

 Logo, a soma das duas maiores raízes vale OITO (5 + 3)!!

 Espero ter ajudado!