Question

Decomponha em frações parciais as seguintes funções racionais, em seguida integre as

Preciso urgente para hoje !!

a) $\left(\frac{x^5-x^4-8}{x^3-4x}\right)$

Answer 1

O numerador tem grau maior que o denominador, então devemos fazer a divisão de polinômios primeiro:

$f(x)=\dfrac{x^5-x^4-8}{x^3-4x}\\\\\\ =\dfrac{x^5-4x^3+4x^3-x^4-8}{x^3-4x}\\\\\\ =\dfrac{x^2(x^3-4x)-x^4+4x^3-8}{x^3-4x}\\\\\\ =\dfrac{x^2(x^3-4x)-x^4+4x^2-4x^2+4x^3-8}{x^3-4x}$

$=\dfrac{x^2(x^3-4x)-x(x^3-4x)-4x^2+4x^3-8}{x^3-4x}\\\\\\ =\dfrac{x^2(x^3-4x)-x(x^3-4x)+4x^3-16x+16x-4x^2-8}{x^3-4x}\\\\\\ =\dfrac{x^2(x^3-4x)-x(x^3-4x)+4(x^3-4x)+16x-4x^2-8}{x^3-4x}\\\\\\ =\dfrac{(x^2-x+4)(x^3-4x)-4x^2+16x-8}{x^3-4x}$

$=\dfrac{(x^2-x+4)(x^3-4x)-4x^2+16x-8}{x^3-4x}\\\\\\ =\dfrac{(x^2-x+4)(x^3-4x)}{x^3-4x}+\dfrac{-4x^2+16x-8}{x^3-4x}\\\\\\ =x^2-x+4+\dfrac{-4x^2+16x-8}{x^3-4x}\\\\\\ =x^2-x+4+g(x)~~~~~~\mathbf{(i)}$


sendo

$g(x)=\dfrac{-4x^2+16x-8}{x^3-4x}\\\\\\ =\dfrac{-4x^2+16x-8}{x(x^2-4)}\\\\\\ =\dfrac{-4x^2+16x-8}{x(x-2)(x+2)}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x-2}+\dfrac{C}{x+2}~~~~~~\mathbf{(ii)}$

________

Agora, vamos determinar as constantes A, B, C:

Reduzindo os dois lados de $\mathbf{(ii)}$ ao mesmo denominador, obtemos

$-4x^2+16x-8=A(x-2)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x-2)~~~~~~\mathbf{(iii)}$


Um bom truque é fazer $x$ assumir os valores dos polos da função racional (os polos são as raízes do denominador: 0, 2 e -2)

$\bullet\;\;$ Para $x=0$

$-8=A(-2)(2)\\\\ -4A=-8\\\\ A=2$


$\bullet\;\;$ Para $x=2$

$-4(2)^2+16(2)-8=B(2)(2+2)\\\\ -16+32-8=B(2)(4)\\\\ 8B=8\\\\ B=1$


$\bullet\;\;$ Para $x=-2$

$-4(-2)^2+16(-2)-8=C(-2)(-2-2)\\\\ -16-32-8=C(-2)(-4)\\\\ 8C=-56\\\\ C=-7$

______________

Então, a nossa função a ser integrada decomposta em frações parciais é

$f(x)=x^2-x+4+\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x-2}-\dfrac{7}{x+2}$


Tomando a primitiva em relação a $x,$

 $\displaystyle\int\! f(x)\,dx=\int\!\left( x^2-x+4+\frac{2}{x}+\frac{1}{x-2}-\frac{7}{x+2}\right )dx\\\\\\ =\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+4x+2\,\mathrm{\ell n}|x|+\mathrm{\ell n}|x-2|-7\,\mathrm{\ell n}|x+2|+C$


Bons estudos! :-)