Question

um tanque em forma de cone com o vértice para baixo mede 12m de altura e tem no topo um diâmetro de 12m. bombeia-se água à taxa de 2m³/min. ache a taxa com que o nível da água sobe quando a água tem 2m de profundidade.? me ajudeeem por favor!

Answer 1

ok , a pergunta quer saber a taxa com que a água sobe quando a água tem 2m de profundidade , (ou seja , dh/dt quando h=2) .

em questões como essa vê o que o problema dá e que fórmulas relacionam o que foi dado ,no caso a fórmula do volume de um cone vai funcionar pra achar o dh/dt :

V=Ab.h/3
V=πR².h  /3              eu sei que dV/dt=2      (2m³/min) e quero saber dh/dt.
                                              preciso achar um jeito de relacionar R e h.
                               posso analisar o angulo que tem Cat oposto o Raio , e como cateto adjacente a altura ,(vou mandar uma figura).
logo tg θ=6/12=R/h , logo R/h=1/2 , R=h/2 , só substituir na fórmula.
V(h)=π.(h/2)².h/3
V(h)=π.h³/12
agora derivando em relação ao tempo:
dV/dt=(π/4).(dh/dt) .h²
2=(π/4).(dh/dt)h²               substituindo h por 2
2=(π/4).(dh/dt).4
2=πdh/dt
dh/dt = 2/π      m/min                   //