Question

Considere três pontos no espaço P1=(1,1,0),P2=(0,1,1)e P3=(-1,0,1) encontre em $\pi$um ponto C que seja equidistante de P1,P2 e P3.

Answer 1

1) Plano que contiene ao ponto meio do segmento $\overline{P_1P_2}$ (perpendicular a este segmento)

$\overrightarrow{P_1P_2}=(-1,0,1)$
- Ecuação deste Plano $\Pi_1$: $-x+z=d_1$
- Ponto médio do segmento $\overline{P_1P_2}$: $M_1=(1/2, 1,1/2)$
- $\Pi_1: x=z$ 

2) Plano que contiene o ponto meio de $\overline{P_1P_3}$ (perpendicular a este segmento)

$\overrightarrow{P_1P_3}=(-2,-1,1)$
- Ecuação deste Plano $\Pi_2$: $-2x-y+z=d_2$
- Ponto médio do segmento $\overline{P_1P_3}$: $M_2=(0, 1/2,1/2)$
- $\Pi_2: 2x+y-z=0$ 

3) Plano que contiene o ponto meio de $\overline{P_2P_3}$ (perpendicular a este segmento)

$\overrightarrow{P_2P_3}=(-1,-1,0)$
- Ecuação deste Plano $\Pi_3$: $-x-y=d_3$
- Ponto médio do segmento $\overline{P_2P_3}$: $M_3=(-1/2, 1/2,1)$
- $\Pi_3: x+y=0$ 

4) Resolução do sistema de ecuaçoes:
$\begin{cases} x-z=0\\ 2x+y-z=0\\ x+y=0 \end{cases}$

Solução: A reta $x=-y=z$