Question

Calcule ∫ₐ x4 dx+xy dy, sendo a o contorno do triângulo de vértices (0,0),(1,0) e (0,1), percorrido neste sentido.

Answer 1

Calcular a seguinte integral de linha de um campo vetorial:

$\displaystyle\oint_a x^4\,dx+xy\,dy$

sendo $a$ uma curva fechada, que liga os pontos (0, 0), (1, 0) e (0, 1) nessa ordem.

Veja que $a$ é uma curva positivamente orientada.

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As componentes do campo são

$\left\{ \!\begin{array}{l} P(x,\,y)=x^4\\\\ Q(x,\,y)=xy \end{array} \right.$


As componentes possuem derivadas parciais contínuas no interior de $a.$ Logo, vale o teorema de Green:

$\displaystyle\oint_a P(x,\,y)\,dx+Q(x,\,y)\,dy=\iint_{\mathrm{int}(a)}\left(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y} \right )\,dy\,dx~~~~~~\mathbf{(i)}$


sendo $\mathrm{int}(a)$ o interior do triângulo formado pelos pontos (0, 0), (1, 0) e (0, 1).

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Encontrando os extremos de integração da integral dupla do lado direito de $\mathbf{(i)}$

• $x$ varia entre extremos fixos (constantes):

$0\le x\le 1$


• $y$ varia entre duas funções de $x:$

(do eixo $x$ até a reta de equação $y=1-x$)

$0\le y\le 1-x$

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Então, devemos ter

$\displaystyle\oint_a x^4\,dx+xy\,dy=\int_0^1\int_0^{1-x}\left(\frac{\partial}{\partial x}(xy)-\frac{\partial}{\partial y}(x^4) \right )dy\,dx\\\\\\ =\int_0^1\int_0^{1-x}(y-0)\,dy\,dx\\\\\\ =\int_0^1\int_0^{1-x}y\,dy\,dx\\\\\\ =\int_0^1\left.\frac{y^2}{2}\right|_0^{1-x}\,dx$

$=\displaystyle\int_0^1\dfrac{(1-x)^2}{2}\,dx\\\\\\ =\int_0^1\frac{1-2x+x^2}{2}\,dx\\\\\\ =\frac{1}{2}\int_0^1(1-2x+x^2)\,dx\\\\\\ =\frac{1}{2}\cdot \left.\left(x-x^2+\frac{x^3}{3} \right )\right|_0^1\\\\\\ =\frac{1}{2}\cdot \left(1-1^2+\frac{1^3}{3} \right )$

$=\dfrac{1}{2}\cdot \left(1-1+\dfrac{1}{3} \right )\\\\\\ =\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{3}\\\\\\ =\dfrac{1}{6}\\\\\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{c} \displaystyle\oint_a x^4\,dx+xy\,dy=\frac{1}{6} \end{array}}$


Bons estudos! :-)