Question

A trajetoria da bola, num chute a gol, descreve uma parábola. Supondo que sua altura H, em metros, T segundos após o chute, seja dada por H= -t²+6t, determine:

A) Em que instante a bola atinge a altura maxima;

B) A altura máxima atingida pela bola.

Answer 1

muito simples meu caro, questoes desse tipo sao bem comuns quando se fala de funçoes quadraticas,vou responder mas peço que leia a resolucao e entenda, primeiro vamos a algumas notaçoes:

yM pertence a Im(f) e é o valor maximo de f se e somente se yM > ou = y, qualquer que seja y percencente a Im(f)

ym pertence a Im(f) e é o valor minimo de f se e somente se ym < ou = y, qualquer que seja y pertencente a Im(f)


o que significa isso!?, bom digamos que eu tenha uma funçao quadratica e eu quero achar o valor maximo que essa funçao pode ter (yM), obviamente esse valor pertence a imagem da função, imagine a seguinte situacao:
f(x) = x^2 - 5x + 6, digamos que eu queira achar o maior valor para f(x), como faria isso? testando um por um os valores pra x e substituindo na funçao?,nao!, se eu substituir o x em f(x) por -b/2a achamos o maior valor para f(x), mas existe uma explicaçao para isso, vamos lá. pegamos a função quadratica por definicao f(x) = ax^2 + bx + c e colocamos na forma canonica ficando:
f(x) = a[(x + b/2a)^2 - delta/4a^2] (nao vou demonstrar como chegar na forma canonica por preguiça mesmo, mas da uma olhada no youtube quando puder kk), vamos a algumas observaçoes importantes na funçao na forma canonica, vamos supor que queremos encontrar o menor valor para a funçao (ym), para isso a diferença dentros dos couxetes deve ser a menor possivel certo? (x + b/2a)^2 para qualquee valor que eu substituir x a expressao retorna uma numero possitivo porque se trata de um quadrado perfeito, como nunca será negativa entao só temos uma opçao que é pegar um numero que substituido por x zera a expressao, entao x = -b/2a, vamos fazer o teste (-b/2a + b/2a)^2 é zero porque se eu tenho um numero e tiro esse numero da zero, sendo assim fica
f(x) = a[ 0 - delta/4a^2]
f(x) = a[ -delta/4a^2] aplicando a propriedade da potencia
f(x) = -delta/4a esse é o valor minimo da funçao, e esse valor minimo só encontrando quando eu tenho f(-b/2a), uma coisa que temos que nos atentar é que não se pode ter um valor maximo e um minimo ao mesmo tempo quando se fala de funçao quadratica pois o grafico é uma parabula, lembra que se a > 0 concavidade voltada pra cima, a<0 concavidade pra baixo, "a" nao pode ser positivo e negativo ao mesmo tempo concorda? vamos agora falar sobre o vertice da parabula que seria o ponto maximo ou o ponto minimo da funçao (tudo vai depender do sinal de a) o vertice é expresso por
V(-b/2a, -delta/4a) se a é maior que zero esse ponto vai ter estar na menor posiçao do grafico, porem para a<0 vai o ponto V estara na maior posiçao (cara se ficou confuso pergunta ai depois que eu respondo)

a>0 ponto minimo
a<0 ponto maximo

agora assim vamos fazer essa bagaça

A) a funçao é H = -t^2 + 6t

H é a mesma coisa que f(t), por definicao de funcao f(x) = y

f(t) = -t^2 + 6t, ele pergunta em que instante a funçao tem o maior valor possivel (altura maxima), basta lembrar que aplicando f(-b/2a) eu acho esse valor, mas por enquanto ele pede apenas apenas o instante t, entao basta fazer
-b/2a = -6/-2= 3 segundos

B) agora ele quer saber a altura maxima

aplica f(-b/2a) = - delta/4a

ou calcula logo de cara -delta/4a ja que aplicando f(-b/2a) voce vai chegar na mesma expressao

-delta/4a = -( b^2 -4ac)/4a = -( 6^2 -4(-1)*0)/-4
= 36/4 = 9 metros

ufa!, espero que tenha te ajudado, um forte abraço, qualquer coisa pergunta ;)