Question

Olá! Estou com dúvidas na radiciação na fração da PG dessa questão (letras a, b ,c, d consegui):

Calcule a razão de cada uma das progressões geométricas abaixo.

e) $( \frac{3}{ \sqrt{5}-2 } , \frac{6}{5 - 2 \sqrt{5} } , \frac{12}{5 \sqrt{5}-10 } , ... )$

O gabarito diz que é $\frac{2 \sqrt{5} }{5}$ mas não estou sabendo como chegar neste resultado! Agradeço à ajuda de vocês!

Answer 1

$a_1=\frac{3}{ \sqrt{5}-2 } \\ \\ a_2= \frac{6}{5-2 \sqrt{5} } \\ \\ a_3=\frac{12}{5 \sqrt{5}-10 }$

Calcula-se a razão dividindo um termo pelo termo anterior a este...

$r= \dfrac{a_2}{a_1} \\ \\ \\ r = \dfrac{\frac{6}{5-2 \sqrt{5} } }{\frac{3}{ \sqrt{5}-2 }}$

A conta acima parece meio complicada, mas não é. Para calcular divisão de frações, deve-se multiplicar o numerador pelo inverso do denominador...

$r = \dfrac{\frac{6}{5-2 \sqrt{5} } }{\frac{3}{ \sqrt{5}-2 }} \\ \\ \\ r = \frac{6}{5-2 \sqrt{5} } \,\,\cdot\,\, \frac{ \sqrt{5}-2 }{3} \\ \\ r= \frac{6\cdot( \sqrt{5}-2) }{(5-2 \sqrt{5})\cdot3 } \\ \\ r = \frac{6 \sqrt{5}-12 }{15-6 \sqrt{5} }$

Agora precisamos racionalizar o denominador, para isso, faremos o seguinte: 

$r=\frac{6 \sqrt{5}-12 }{15-6 \sqrt{5} }\,\,\cdot\,\, \frac{15+6 \sqrt{5} }{15+6 \sqrt{5} } \\ \\ r= \frac{(6 \sqrt{5}-12)(15+6 \sqrt{5}) }{(15-6 \sqrt{5})(15+6 \sqrt{5}) } \\ \\ r = \frac{15\cdot {6 \sqrt{5}\,\,+\,\,(6 \sqrt{5})(6 \sqrt{5})\,\,-\,\,12\cdot15\,\,-\,\,12\cdot6 \sqrt{5} } }{15\cdot15\,\,-\,\,(6 \sqrt{5})\cdot(6 \sqrt{5}) } \\ \\ r= \frac{90 \sqrt{5}\,\,+\,\,180\,\,-\,\,180\,\,-\,\,72 \sqrt{5} }{225\,\,-\,\,180} \\ \\ r= \frac{18 \sqrt{5} }{45}$

Agora é só simplificar e finalmente chegaremos ao resultado:

$r = \frac{18 \sqrt{5} }{45} \div \frac{9}{9} \\ \\ \\ \boxed{\boxed{r= \frac{2 \sqrt{5} }{5} }}$