Question

Como resolver?
 Determine "a" de modo que a equação "x²-(2a+1)x+4a=0" tenha soma dos quadrados das raízes igual a "1".

Answer 1

Questão que usa as relações de Girard pra ser resolvida. Vamos lá?

i) Inicialmente lembremo-nos desse produto notável aqui:

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

Disso a gente pode encontrar facilmente que

$\boxed{a^2+b^2=(a+b)^2-2ab}$

Agora vamos calcular a soma e o produto das raízes da equação dada, pra substituir os valores acima e encontrar o valor de $a$. Chamando as raízes da equação de $x_1$ e $x_2$ teremos:

$x_1+x_2=-\frac{-(2a+1)}{1}\Rightarrow x_1+x_2=2a+1\\ \\ x_1x_2=\frac{4a}{1}\Rightarrow x_1x_2=4a\\ \\ \mathrm{Fazendo} \ a=x_1 \ \mathrm{e}\ b=x_2\ \mathrm{na \ rela\c{c}\~ao \ em \ i) \ teremos}\\ \\ x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\\ \\ 1=(2a+1)^2-2.4a\\ \\ 4a^2+4a+1-8a=1\\ \\ 4a^2-4a=0$

Resolvendo a equação incompleta acima encontramos que os valores procurados de $a$ que satisfazem a condição pedida são

$\boxed{\boxed{a=0}}$ e $\boxed{\boxed{a=1}}$