Question

f(x)=raiz(5x-10x^2) Alguém pode me ajudar a determinar o dominio ?

Answer 1

O dominio da função é quando ela é valida nos intervalos reais

para ser valida, o valor de dentro dela deve ser >0
portanto:

5x-10x²>0
5x(1-2x)>0

O dominio da função é entre 0<x<1/2

Answer 2

Vamos lá.

Pede-se para determinar o domínio da função abaixo:

f(x) = √(-10x²+5x)

Veja, Mikael, que radicais de índice par (como é o caso da raiz quadrada acima que tem índice "2", apenas não se coloca) só aceitam radicandos que sejam maiores ou iguais a zero.
Então deveremos impor que o radicando "-10x²+5x" seja maior ou igual a zero. Assim:

- 10x² + 5x ≥ 0 ---- para facilitar os cálculos, vamos apenas multiplicar ambos os membros por "-1" (lembre-se: quando se multiplica uma desigualdade por "-1" o seu sinal muda. O que é ">" passa pra "<" e vice-versa):

10x² - 5x ≤ 0

Agora note: vamos encontrar as raízes da função 10x²-5x = 0. Depois, em função das raízes encontradas, estudaremos a variação de sinais para a função acima.
Para encontrar as raízes vamos colocar "x" em evidência, ficando:

x*(10x - 5) = 0 ---- veja que aqui temos o produto entre dois fatores cujo resultado é nulo. Quando isso ocorre, um dos fatores é nulo. Assim, teremos as seguintes possibilidades:

ou
x = 0 ----> x' = 0 

ou

10x - 5 = 0
10x = 5 ------ x = 5/10 --- dividindo-se numerador e denominador por "5", teremos: ---> x'' = 1/2 .

Assim, como as raízes são x' = 0 e x'' = 1/2, então a variação de sinais da equação dada, em função de suas raízes da equação acima será:

10x² - 5x ≤ 0... ++++++++++(0)- - - - - - - - - (1/2)++++++++++++++++

Assim, como queremos que a inequação seja MENOR ou IGUAL a zero, então só nos vai interessar onde tiver sinal de menos (ou igual a zero) no gráfico acima. Assim:

0 ≤ x ≤ 1/2 --------- Esta é a resposta.Este é o domínio procurado.

Se você quiser, poderá apresentar o domínio da seguinte forma, o que é a mesma coisa:

D = {x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 1/2}

Também se quiser, o domínio poderá ser expresso do seguinte modo, o que dá no mesmo:

D = [0; 1/2]

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.