Question

Durante um torneio de arremesso de peso, um atleta teve o seu arremesso filmado. Com base na gravação, descobriu -se a altura (y) do peso em função de sua distância horizontal (x) medida em relação ao ponto de lançamento. Alguns valores da distância e da sua altura são fornecidos no quadro a seguir. Seja a função y=ax²+bx+c que descreve a trajetória do objetivo, determine:

Posição(m)    Altura (m)
1                      0
2                      3
3                      4
a) coeficientes da função (a, b, c)

b) a altura máxima alcançada pelo peso

Answer 1

Vamos lá.

Vitor, pelo que está escrito, a questão pede a altura máxima (y) em função da distância horizontal (x).
Tem-se que, na posição "1" a altura é zero; na posição "2" a altura é 3; e na posição "3", a altura é "4".
Assim, com base na função y = ax² + bx + c, pede-se a altura máxima alcançada pelo peso, levando-se em conta os coeficientes "a", "b" e "c".

Note que a altura máxima será obtida pelo "y" do vértice, que é dada por:

yv = - (b²-4ac)/4a

Bem, visto isso, vamos às posições (x). Quando x = 1, a altura é zero; quando x = 2, a altura é "3"; e quando x = 3, a altura é "4". Sendo assim (se  não for isso, você avisa, ok?), vamos substituir, na função y = ax²+bx+c, o "x" pela respectiva posição e vamos substituir o "y" pela também respectiva altura.
Assim teremos:

i) para x = 1, teremos altura "zero". Logo:

a*1² + b*1 + c = 0
a + b + c = 0    . (I)

ii) para x = 2, teremos altura "3". Assim:

a*2² + b*2 + c = 3
a*4 + b*2 + c = 3
4a + 2b + c = 3  . (II)

iii) para x = 3, teremos altura "4". Assim:

a*3² + b*3 + c = 4
a*9 + b*3 + c = 4
9a + 3b + c  = 4    . (III)

iv) Agora veja que ficamos com um sistema formado pelas expressões (I), (II) e (III), e que são:

a + b + c = 0    . (I)
4a + 2b + c = 3    . (II)
9a + 3b + c = 4    . (III)

v) Faremos o seguinte: multiplicaremos a expressão (I) por "-1" e, em seguida, somaremos com a expressão (II). Assim:

-a - b - c = 0 --- [esta é a expressão (I) multiplicada por "-1"]
4a+2b+c = 3 --- [esta é a expressão (II) normal]
--------------------------- somando membro a membro, teremos:
3a + b + 0 = 3 --- ou apenas:
3a + b = 3
b = 3 - 3a    . (IV)

vi) Agora vamos tomar a expressão (II) e multiplicá-la por (-3) e tomaremos a expressão (III) e multiplicaremos por "2". Após isso, somaremos ambas expressões membro a membro. Assim teremos;

-12a - 6b - 3c = - 9 --- [esta é a expressão (II) multiplicada por "-3"]
18a + 6b + 2c = 8 --- [esta é a expressão (III) multiplicada por "2"]
-------------------- somando membro a membro, teremos:
6a + 0 - c = - 1 --- ou apenas:
6a - c = - 1
- c = - 1 - 6a ---- multiplicando ambos os membros por "-1", ficaremos:
c = 1 + 6a     . (V)

vii) Agora, finalmente, vamos tomar a expressão (I) e multiplicá-la por "-9". Em seguida, somaremos, membro a membro, com a expressão (III). Assim:

-9a - 9b - 9c = 0 --- [esta é a expressão (I) multiplicada por "-9"]
9a + 3b + c = 4 ---- [esta é a expressão (III) normal]
----------------------- somando membro a membro, teremos:
0 - 6b - 8c = 4 --- ou apenas:
-6b - 8c = 4 ----- multiplicando ambos os membros por "-1", teremos:
6b + 8c = - 4     . (VI)

viii) Agora ficamos com as expressões (IV), (V) e (VI) e que são:

b = 3 - 3a    . (IV)
c = 1 + 6a    . (V)
6b + 8c = - 4    (VI)

Faremos o seguinte: substituiremos, na expressão (VI) o valor de "b" por "3-3a" e substituiremos o valor de "c" por "1+6a". Assim, ficaremos:

6*(3-3a) + 8*(1+6a) = - 4 ---- desenvolvendo temos:
18-18a + 8+48a = - 4
26 + 30a = - 4
30a = - 4 - 26
30a = - 30
a = -30/30
a = - 1 <---- Este é o valor do termo "a".

Agora, para encontrar os termos "b" e "c", iremos nas expressões (IV) e (V). Assim:

c = 3 - 3a ----- substituindo "a' por "-1", teremos:
c = 3 - 3*(-1)
c = 3 + 3
c = 6 <--- Este é o valor do termo "c".

E, finalmente, para encontrar o valor de "b", iremos na expressão (V), que é esta:

b =  1 + 6a ----- substituindo-se "a' por "-1", teremos:
b = 1 + 6*(-1)
b = 1 - 6
b = - 5 <---- Este é o valor do termo "b".

Assim, a função y = ax² + bx + c será, após substituirmos "a" por "-1", substituirmos "b" por "-5" e substituirmos "c" por "6", teremos;

y = -x² - 5x + 6 <---- Esta é a função "y".

Agora vamos encontrar qual é a altura máxima, utilizando-se a fórmula do "y" do vértice (yv), cuja fórmula já vimos antes e que é esta:

yv = - (b²-4ac)/4a ----- fazendo as devidas substituições, teremos:
yv = - ((-5)² - 4*(-1)*6))/4*(-1)
yv = - (25 + 24)/-4
yv = - (49)/-4
yv = -49/-4 --- ou apenas:
yv = 49/4
yv = 12,25m <---- Esta será a altura máxima.

É isso aí.
Deu pra entender bem?
 
OK?
Adjemir.

Answer 2

(a) Os coeficientes são a = -1, b = 6 e c = -5.

(b) A altura máxima alcançada pelo peso é de 4 metros.

Essa questão é sobre equações do segundo grau. As equações do segundo grau são representadas por ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são os coeficientes da equação. O vértice da parábola é o ponto que representa o valor máximo ou valor mínimo da equação e suas coordenadas são dadas por:

xv = -b/2a

yv = -∆/4a

a) Utilizando os dados da tabela, podemos substituir os valores de x e y:

0 = a·1² + b·1 + c

3 = a·2² + 2·b + c

4 = a·3² + 3·b + c

Reorganizando:

a + b + c = 0

4a + 2b + c = 3

9a + 3b + c = 4

Reescrevendo a segunda e terceira equações e substituindo a primeira, temos:

3a + b + (a + b + c) = 3

8a + 2b + (a + b + c) = 4

3a + b = 3

8a + 2b = 4

Multiplicando a primeira equação por -2 e somando, temos:

2a = -2

a = -1

b = 6

c = -5

b) Calculando a coordenada y do vértice:

yv = -(6² - 4·(-1)·(-5))/4·(-1)

yv = -(36 - 20)/-4

yv = 16/4

yv = 4 m

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