• Matéria: Matemática
  • Autor: MarioPaiter
  • Perguntado 9 anos atrás

Um arco θ do terceiro quadrante apresenta tg θ= 1/3.
Obtenha o valor de  \frac{sen\theta<br /> + cos\theta}{1 + sen\theta}


Lukyo: Para escrever θ em Latex, tem que digitar \theta
Lukyo: Ainda dá para editar as outras ocorrências de \theta?
Lukyo: Vou responder :)

Respostas

respondido por: Lukyo
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\dfrac{\mathrm{sen\,}\theta+\cos \theta}{1+\mathrm{sen\,}\theta}


Multiplicando o numerador e o denominador por \dfrac{1}{\cos \theta},

=\dfrac{\left(\mathrm{sen\,}\theta+\cos \theta \right )\cdot \frac{1}{\cos \theta}}{\left(1+\mathrm{sen\,}\theta \right )\cdot \frac{1}{\cos \theta}}\\\\\\ =\dfrac{\frac{\mathrm{sen\,}\theta}{\cos \theta}+\frac{\cos \theta}{\cos \theta}}{\frac{1}{\cos \theta}+\frac{\mathrm{sen\,}\theta}{\cos \theta}}\\\\\\ =\dfrac{\mathrm{tg\,}\theta+1}{\sec \theta+\mathrm{tg\,}\theta}~~~~~~\mathbf{(i)}

________

Vamos encontrar a secante, usando a identidade trigonométrica:

\sec^2 \theta=1+\mathrm{tg^2\,}\theta\\\\ \sec^2 \theta=1+\left(\dfrac{1}{3} \right )^{\!2}\\\\\\ \sec^2 \theta=1+\dfrac{1}{9}\\\\\\ \sec^2 \theta=\dfrac{9}{9}+\dfrac{1}{9}\\\\\\ \sec^2 \theta=\dfrac{9+1}{9}\\\\\\ \sec^2 \theta=\dfrac{10}{9}

\sec \theta=\pm \sqrt{\dfrac{10}{9}}\\\\\\ \sec \theta=\pm \dfrac{\sqrt{10}}{3}


Como \theta é do 3º quadrante, a secante é negativa. Portanto,

\sec \theta=-\,\dfrac{\sqrt{10}}{3}

________

Substituindo em \mathbf{(i)} os valores da tangente e da secante, fica

=\dfrac{\frac{1}{3}+1}{-\frac{\sqrt{10}}{3}+\frac{1}{3}}\\\\\\ =\dfrac{\left(\frac{1}{3}+1 \right )\cdot 3}{\left(-\frac{\sqrt{10}}{3}+\frac{1}{3} \right )\cdot 3}\\\\\\ =\dfrac{1+3}{-\sqrt{10}+1}\\\\\\ =\dfrac{4}{1-\sqrt{10}}


poderia parar aqui. Mas caso queira racionalizar o denominador (não é necessário)

=\dfrac{4}{1-\sqrt{10}}\cdot \dfrac{1+\sqrt{10}}{1+\sqrt{10}}\\\\\\ =\dfrac{4\cdot \big(1+\sqrt{10}\big)}{\big(1-\sqrt{10}\big)\cdot \big(1+\sqrt{10}\big)}\\\\\\ =\dfrac{4\cdot \big(1+\sqrt{10}\big)}{1^2-\big(\sqrt{10}\big)^{2}}\\\\\\ =\dfrac{4\cdot \big(1+\sqrt{10}\big)}{1-10}\\\\\\ =\dfrac{4\cdot \big(1+\sqrt{10}\big)}{-9}\\\\\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{c}\dfrac{\mathrm{sen\,}\theta+\cos \theta}{1+\mathrm{sen\,}\theta}=-\,\dfrac{4}{9}\big(1+\sqrt{10}\big) \end{array}}


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)


Lukyo: Caso tenha problemas para visualizar a resposta, experimente abrir pelo navegador: http://brainly.com.br/tarefa/6605608
MarioPaiter: Muito obrigado Lukyo; entendi perfeitamente. Abraço
Lukyo: Por nada! :-)
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