Question

Determine a equação da reta tangente em (p, f (p)) sendo.
a) f(x)= x^2 - x e p=1

Answer 1

O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de uma função $f$ no ponto $(p,f(p))$ é definido por

$m(p)=f'(p)=\lim\limits_{x\to p}\dfrac{f(x)-f(p)}{x-p}$

se o limite existir. Esse coeficiente é a derivada de $f$ avaliada em $p$
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Resolvendo pela definição de derivada

Queremos a reta tangente ao gráfico de $f$ em $p=1$. Essa reta tem inclinação $m=f'(1)$ e passa pelo ponto $(1,f(1))$

Encontrando $f(1)$:

$f(1)=1^{2}-1=1-1=0$

ou seja, a reta passa pelo ponto $(1,0)$

Encontrando $f'(1)$:

$f'(1)=\lim\limits_{x\to1}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}\\\\\\f'(1)=\lim\limits_{x\to1}\dfrac{(x^{2}-x)-0}{x-1}\\\\\\f'(1)=\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^{2}-x}{x-1}\\\\\\f'(1)=\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x\cdot(x-1)}{x-1}$

No limite, temos $x\neq1~\Rightarrow~x-1\neq0$, então podemos cancelar $x-1$:

$f'(1)=\lim\limits_{x\to1}x=1$

Logo, temos a equação reduzida da reta:

$y=mx+n=1x+n=x+n$

Como essa reta passa por (1,0), $y=0$ quando $x=1$

$0=1+n~\Leftrightarrow~n=-1$

Então, a equação da reta tangente ao gráfico de $f$ em $p=1$ é

$\boxed{\boxed{y=x-1}}$
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Usando as regras de derivação

Derivada de potências de x:

$\boxed{\boxed{\dfrac{d}{dx}(x^{n})=n\cdot x^{n-1}~~~para~todo~n\in\mathbb{R}}}$

Derivada de soma/diferença de funções:

$\dfrac{d}{dx}[f(x)\pm g(x)]=\dfrac{d}{dx}f(x)\pm\dfrac{d}{dx}g(x)=f'(x)\pm g'(x)$

Encontrando a derivada de $f$:

$f'(x)=\frac{d}{dx}(x^{2}-x)\\\\f'(x)=\frac{d}{dx}(x^{2})-\frac{d}{dx}(x)\\\\f'(x)=2x^{1}-\frac{d}{dx}(x^{1})\\\\f'(x)=2x-1x^{0}\\\\\boxed{\boxed{f'(x)=2x-1}}$

Encontrando $f'(1)$ (coef. angular da reta tangente ao gráfico de $f$ em $x=1$):

$f'(x)=2x-1\\\\f'(1)=2\cdot1-1\\\\f'(1)=2-1\\\\f'(1)=1$

A equação da reta com coeficiente angular $m=1$ que passa por $(1,0)$ é dada por

$y-0=m(x-1)\\\\y=1(x-1)\\\\\boxed{\boxed{y=x-1}}$