Question

Use a integral dupla para achar a área das seguintes questões:

8) Calcule a área da região delimitada pela parábola y= 4-x² e pela reta x - y=2.

9) Calcule a área da região delimitada pela parábola x = y² - 4 e pela reta x = 3y.

10) Achar a área da região delimitada pelos gráficos das equações y = x³, y = 2 -x² e x=0.

Ver anexo

Answer 1

8) • Achando a interseção entre as curvas

y = 4 – x²   e   y = x – 2


4 – x² = x – 2

0 = x – 2 – 4 + x²

x² + x – 6 = 0

x² + 3x – 2x – 6 = 0

x(x + 3) – 2(x + 3) = 0
 
(x + 3)(x – 2) = 0

x = – 3   ou    x = 2


Pontos (– 3,  –5)  e  (2,  0).


•  Extremos de integração:

   x varia em extremos fixos:     – 3 ≤ x ≤ 2;

   y varia entre duas funções de x:    x – 2 ≤ y ≤ 4 – x².


A área é dada por

$A=\displaystyle\iint_D 1\,dA\\\\\\ =\int_{-3}^2\int_{x-2}^{4-x^2}1\,dy\,dx\\\\\\ =\int_{-3}^2 y\big|_{x-2}^{4-x^2}\,dx\\\\\\ =\int_{-3}^2 \big(4-x^2-(x-2)\big)\,dx\\\\\\ =\int_{-3}^2 (4-x^2-x+2)\,dx\\\\\\ =\int_{-3}^2 (6-x-x^2)\,dx\\\\\\ =\left(6x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right)\bigg|_{-3}^2\\\\\\ =\left(6\cdot 2-\frac{2^2}{2}-\frac{2^3}{3}\right)-\left(6\cdot (-3)-\frac{(-3)^2}{2}-\frac{(-3)^3}{3}\right)\\\\\\ =12-2-\frac{8}{3}-\left(-18-\frac{9}{2}+\frac{27}{3}\right)$

$=12-2-\dfrac{8}{3}+18+\dfrac{9}{2}-\dfrac{27}{3}\\\\\\ =28-\dfrac{35}{3}+\dfrac{9}{2}\\\\\\ =\dfrac{168-70+27}{6}\\\\\\ =\boxed{\begin{array}{c}\dfrac{125}{6}\mathrm{~u.a.} \end{array}}~~~~\checkmark$

_________

9) • Achando a interseção entre as curvas

x = y² – 4   e   x = 3y


y² – 4 = 3y

y² – 3y – 4 = 0

y² + y – 4y – 4 = 0

y(y + 1) – 4(y + 1) = 0

(y + 1)(y – 4) = 0

y = – 1    ou    y = 4


Pontos (– 3,  – 1)  e  (4,  12).


•  Extremos de integração:

       – 1 ≤ y ≤ 3;
   y² – 4 ≤ x ≤ 3y.


•  Área:

$A=\displaystyle\int_{-1}^4\int_{y^2-4}^{3y} 1\,dx\,dy\\\\\\ =\int_{-1}^4\int_{y^2-4}^{3y} 1\,dx\,dy\\\\\\ =\int_{-1}^4 y\big|_{y^2-4}^{3y} \,dy\\\\\\ =\int_{-1}^4 \big(3y-(y^2-4)\big) \,dy\\\\\\ =\int_{-1}^4 (3y-y^2+4)\,dy\\\\\\ =\left(\frac{3y^2}{2}-\frac{y^3}{3}+4y \right)\bigg|_{-1}^4\\\\\\ =\left(\frac{3\cdot 4^2}{2}-\frac{4^3}{3}+4\cdot 4 \right)-\left(\frac{3\cdot (-1)^2}{2}-\frac{(-1)^3}{3}+4\cdot (-1) \right)\\\\\\ =24-\frac{64}{3}+16-\frac{3}{2}+\frac{(-1)}{3}-(-4)$

$=\displaystyle24-\frac{65}{3}+16-\frac{3}{2}+4\\\\\\ =44-\frac{65}{3}-\frac{3}{2}\\\\\\ =\frac{264-130-9}{6}\\\\\\ =\boxed{\begin{array}{c}\dfrac{125}{6}\mathrm{~u.a.} \end{array}}~~~~\checkmark$

_________

10) • Achando a interseção entre as curvas

y = x³   e   y = 2 – x²


x³ = 2 – x²

x³ + x² – 2 = 0              (x = 1 é raiz desta equação)

x³ – x² + x² + x² – 2 = 0

x³ – x² + 2x² – 2 = 0

x²(x – 1) + 2x² – 2 = 0

x²(x – 1) + 2x² – 2x + 2x – 2 = 0

x²(x – 1) + 2x(x – 1) + 2x – 2 = 0

x²(x – 1) + 2x(x – 1) + 2(x – 1) = 0

(x – 1)(x² + 2x + 2) = 0


O outro fator é um polinômio do 2º grau irredutível (não tem raízes reais). A única solução é x = 1.


Ponto (1,  1).


•  Extremos de integração:

   0 ≤ x ≤ 1
   x³ ≤ y ≤ 2 – x²


•  Área:

$A=\displaystyle\int_0^1\int_{x^3}^{2-x^2}1\,dy\,dx\\\\\\ =\int_0^1 y\big|_{x^3}^{2-x^2}\,dx\\\\\\ =\int_0^1(2-x^2-x^3)\,dx\\\\\\ =\left(2x-\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\right)\bigg|_0^1\\\\\\ =2\cdot 1-\frac{1^3}{3}-\frac{1^4}{4}\\\\\\ =2-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\\\\\\ =\frac{24-4-3}{12}\\\\\\ =\boxed{\begin{array}{c}\dfrac{17}{12}\mathrm{~u.a.} \end{array}}~~~~\checkmark$


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Bons estudos! :-)