Question

Por meio da integral dupla, calcule os seguintes volumes:

1) Ache o volume do sólido delimitado, abaixo pelo cilindro y = x² e entre os pelos planos z=0 e y + z = 4.

2) Determine o volume do sólido no primeiro octante delimitado acima por z = 4 - x² e abaixo por x = 2 e x + y = 4.

3) Calcule o volume do sólido no primeiro octante delimitado acima pelo plano z= 6 -x e abaixo por x= 4 - y².

ver anexo

Answer 1

Volume da região sob o gráfico de uma função de duas variáveis:

$V=\displaystyle\iint_{D}f(x,\,y)\,dA$

sendo $D\subset \mathbb{R}^2$ um conjunto limitado, e $f$ integrável e não-negativa em $D.$

__________

1) •  Queremos calcular o volume abaixo do plano y + z = 4. Escrevendo z como função de x e y,

z = 4 – y      ( = f(x,y) )


•   Extremos de integração (no plano xy):

Achando a interseção

da reta  y = 4  com a parábola  y = x²:

x² = 4

x = ± 2


Pontos  (2,  4)  e  (– 2,  4).

    x varia em extremos fixos:   – 2 ≤ x ≤ 2;
    y varia entre duas funções de x:   x² ≤ y ≤ 4.


•   Volume:

$V=\displaystyle\iint_{D}(4-y)\,dA\\\\\\ =\int_{-2}^2\int_{x^2}^4(4-y)\,dy\,dx\\\\\\ =\int_{-2}^2 \left(4y-\frac{y^2}{2}\right) \bigg|_{x^2}^4\,dx\\\\\\ =\int_{-2}^2 \left[\left(4\cdot 4-\frac{4^2}{2}\right)-\left(4\cdot x^2-\frac{(x^2)^2}{2}\right) \right ]dx\\\\\\ =\int_{-2}^2 \left[16-8-4x^2+\frac{x^4}{2} \right ]dx\\\\\\ =\int_{-2}^2 \left(8-4x^2+\frac{x^4}{2}\right)dx$


É a integral de uma função par de $x$ sobre um intervalo simétrico. Então, a integral acima fica

$=\displaystyle 2\int_0^2\left(8-4x^2+\frac{x^4}{2}\right)dx\\\\\\ =2\cdot \left(8x-\frac{4x^3}{3}+\frac{x^5}{10}\right)\bigg|_0^2\\\\\\ =2\cdot \left(8\cdot 2-\frac{4\cdot 2^3}{3}+\frac{2^5}{10}\right)\\\\\\ =2\cdot \left(16-\frac{32}{3}+\frac{32}{10}\right)\\\\\\ =2\cdot \left(16-\frac{32}{3}+\frac{32}{10}\right)$

$=2\cdot \left(\dfrac{480-320+96}{30}\right)\\\\\\ =2\cdot \dfrac{256}{30}\\\\\\ =\boxed{\begin{array}{c}\dfrac{256}{15}\mathrm{~u.v.} \end{array}}~~~~\checkmark$

_________

2) • Calcular o volume abaixo do cilindro

z = 4 – x²      ( = f(x, y) )


•   Extremos de integração (no plano xy):

Achando a interseção

da reta  x = 2  com a reta  x + y = 4:

2 + y = 4

y = 4 – 2

y = 2


Ponto (2, 2).

    x varia em extremos fixos:   0 ≤ x ≤ 2;
    y varia entre duas funções de x:   0 ≤ y ≤ 4 – x.


•   Volume:

$V=\displaystyle\iint_{D}(4-x^2)\,dA\\\\\\ =\int_0^2\int_0^{4-x}(4-x^2)\,dy\,dx\\\\\\ =\int_0^2 (4-x^2)\cdot y\big|_0^{4-x}dx\\\\\\ =\int_0^2 (4-x^2)\cdot (4-x)\,dx\\\\\\ =\int_0^2 (16-4x-4x^2+x^3)\,dx\\\\\\ =\left(16x-2x^2-\frac{4x^3}{3}+\frac{x^4}{4}\right)\bigg|_0^1\\\\\\ =16\cdot 2-2\cdot 2^2-\frac{4\cdot 2^3}{3}+\frac{2^4}{4}$

$=32-8-\dfrac{32}{3}+4\\\\\\ =28-\dfrac{32}{3}\\\\\\ =\dfrac{84-32}{3}\\\\\\ =\boxed{\begin{array}{c}\dfrac{52}{3}\mathrm{~u.v.} \end{array}}~~~~\checkmark$

_________

3) •  Calcular o volume abaixo do plano

z = 6 – x      ( = f(x, y) )


•   Extremos de integração (no plano xy):

    y varia em extremos fixos:   0 ≤ y ≤ 2;
    x varia entre duas funções de y:   0 ≤ x ≤ 4 – y².


•   Volume:

$V=\displaystyle\iint_{D}(6-x)\,dA\\\\\\ =\int_0^2\int_0^{4-y^2}(6-x)\,dx\,dy\\\\\\ =\int_0^2\left(6x-\frac{x^2}{2}\right)\bigg|_0^{4-y^2}\,dy\\\\\\ =\int_0^2\left[6\cdot (4-y^2)-\frac{(4-y^2)^2}{2}\right]dy\\\\\\ =\int_0^2\left[24-6y^2-\frac{16-8y^2+y^4}{2}\right]dy\\\\\\ =\int_0^2\left[24-6y^2-(8-4y^2)-\frac{y^4}{2}\right]dy$

$=\displaystyle\int_0^2\left(24-6y^2-8+4y^2-\frac{y^4}{2}\right)dy\\\\\\ =\int_0^2\left(16-2y^2-\frac{y^4}{2}\right)dy\\\\\\ =\left(16y-\frac{2y^3}{3}-\frac{y^5}{10}\right)\bigg|_0^2\\\\\\ =16\cdot 2-\frac{2\cdot 2^3}{3}-\frac{2^5}{10}\\\\\\ =32-\frac{16}{3}-\frac{32}{10}\\\\\\ =\frac{960-160-96}{30}\\\\\\ =\frac{704}{30}\\\\\\ =\boxed{\begin{array}{c}\dfrac{352}{15}\mathrm{~u.v.}\end{array}}~~~~\checkmark$


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