Question

Calcule a soma das raízes da equação √3sen-cosx=1, no intervalo 0<_ x<_2π

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se para calcular as raízes da equação abaixo, no intervalo 0 ≤ x ≤ 2π:

√(3)*sen(x) - cos(x) = 1 ------ vamos passar "-cos(x)" para o 2º membro, ficando:
√(3)*sen(x) = cos(x) + 1 ---- para eliminar o radical, vamos elevar ambos os membros ao quadrado, com o que ficaremos:

[√(3)*sen(x)]² = [cos(x)+1)]² ---- desenvolvendo os 2 membros, teremos:
3sen²(x) = cos²(x) + 2cos(x) + 1 ---- veja que poderemos substituir sen²(x) por (1-cos²(x)). Então, fazendo isso, teremos:

3*(1-cos²(x)) = cos²(x) + 2cos(x) + 1 ----- desenvolvendo, teremos:
3 - 3cos²(x) = cos²(x) + 2cos(x) + 1 ---- passando todo o 1º membro para o segundo, ficaremos assim:

0 = cos²(x) + 2cos(x) + 1 - 3 + 3cos²(x) ----- reduzindo os termos semelhantes e invertendo, ficaremos com:

4cos²(x) + 2cos(x) - 2 = 0 ---- para facilitar, poderemos dividir ambos os membros por "2" com o que ficaremos:

2cos²(x) + cos(x) - 1 = 0 ----- vamos fazer cos(x) = y. Com isso, ficaremos:

2y² + y - 1 = 0 ---- se você aplicar Bháskara, encontrará as seguintes raízes:

y' = - 1
y'' = 1/2.

Mas lembre-se que fizemos cos(x) = y. Então:

i) Para y = - 1, teremos:

cos(x) = - 1 ----- veja que o cosseno é igual a "-1" no arco de 180º (ou π). Assim:

x = π ------ Esta é uma raiz válida.

ii) para y =1/2, teremos:

cos(x) = 1/2 ---- veja que o cosseno é igual a 1/2 no arco de 60º (ou π/3) ou no arco de 300º (ou 5π/3). Assim:

x = π/3
ou
x = 5π/3.

Assim, resumindo, teremos que: no intervalo dado [0 ≤ x ≤ 2π], as respostas seriam estas. em princípio: x = π/3, ou x = π, ou x = 5π/3 .

Contudo, ao substituirmos o "x" por 300º (ou 5π/3), iremos notar que o seno de 300º, por ser igual a "-√(3)/2", não iria satisfazer a igualdade original. Dessa forma, as possíveis soluções serão apenas estas, que satisfazem à igualdade original:

x = π/3 ou x = π <----- Estas são as duas possíveis soluções. 

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.