Question

Verifique se a sequência {-n/2n+1}tendendo ao ∞ e tendendo a n=1 é covergente ou divergente,

Answer 1

TEOREMA

Seja $\{a_{n}\}_{n\ge1}$ uma sequência real e $f$ uma função real tal que $a_{n}=f(n)~\forall~n\ge1$. Se

$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\ell\in\mathbb{R}$

então $\lim\limits_{n\to\infty}a_{n}=\ell$

Caso o limite não exista, dizemos que $a_{n}$ diverge.
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Definindo a função real $f(x)=-\dfrac{x}{2x+1}$, tem-se $a_{n}=f(n),~n\ge1$

Avaliando o limite de $f(x)$ quando $x\to\infty$:

$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{-x}{2x+1}$

Dividindo o numerador e o denominador por x:

$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{-1}{2+\frac{1}{x}}$

Quando $x\to\infty,~\frac{1}{x}\to0$, então:

$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\dfrac{-1}{2+0}\\\\\\\boxed{\boxed{\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=-\dfrac{1}{2}}}$

Logo, pelo teorema, temos que

$\boxed{\boxed{\lim\limits_{n\to\infty}a_{n}=-\dfrac{1}{2}}}$

portanto, a sequência dada é convergente.