Question

Determine e represente graficamente o domínio da função :


$f(x,y) = \frac{1}{ \sqrt{16- x^{2} - y^{2} } }$

Answer 1

Sabemos que precisamos ter radicandos não negativos em raízes quadradas, para que a raiz seja um número real. Além disso, não podemos ter denominador nulo, portanto o domínio será o conjunto de pontos onde o radicando da raiz é positivo (não pode se anular, já que teríamos divisão por zero)

$D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:16-x^{2}-y^{2}~\textgreater~0\}$

Note que

$16-x^{2}-y^{2}~\textgreater~0~~\Leftrightarrow~~16~\textgreater~x^{2}+y^{2}~~\Leftrightarrow~~x^{2}+y^{2}~\textless~1$

Ou seja, podemos escrever o domínio da função como

$\boxed{\boxed{D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:x^{2}+y^{2}~\textless~16\}}}$

Notando que $x^{2}+y^{2}=16=4^{2}$ é a equação de uma circunferência de raio 4 centrada na origem, temos que $x^{2}+y^{2}~\textless~16$ é o interior dessa circunferência (sem contar a fronteira, que é justamente a circunferência)

Um esboço do domínio está em anexo