Question

quais são os dois números cuja média aritmética simples e a média geométrica deles são respectivamente 20,5 e 20?

Answer 1

Ma = (x + y)/2
20,5 = (x + y)/2

(x + y) = 41
 x = 41 - y  (1)

Mg = √x.y
20 = √x.y
20² = (√x.y)²
400 = x.y    (2)

Substituindo (1) em (2), temos:

x.y = 400
(41 - y).y = 400
41y - y² = 400
y² - 41y + 400 = 0

Δ = (-41)² - 4(1)(400)
Δ = 1681 - 1600 = 81
√Δ = √81 = 9

y' = (41 + 9)/2 = 50/2 = 25

y'' = (41 - 9)/2 = 32/2 = 16

Resposta: os número procurados são 25 e 16

Ma = (25 + 16)/2 = 41/2 = 20,5

Mg = √25.16 = √400 = 20

Espero ter ajudado

Answer 2

Os dois números cuja média aritmética simples e a média geométrica são 20,5 e 20 respectivamente são o 16 e o 25

Média aritmética e Média geométrica

A média aritmética simples é dada pela soma dos elementos da amostra divididos pela quantidade de elementos que temos e a média geométrica é a raiz com o índice igual à quantidade de elementos, do produto dos elementos.

$M_A = \frac{a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n}{n}\\\\M_G = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot ... \cdot a_n}$

São medidas de tendência central de uma amostra de dados e fundamentais para cálculos estatísticos.

Temos então o seguinte sistema:

$\left \{ {{\frac{x + y}{2} = 20,5} \atop {\sqrt{x \cdot y} = 20}} \right.$

reorganizando as equações temos:

x + y = 41

x · y = 400

pelo método da substituição, fazemos

x = 41 - y

(41 - y)y = 400

41y - y² = 400

y² - 41y + 400 = 0

Agora usaremos a fórmula de Bhaskara ou fórmula de resolução da equação de segundo grau, fazendo a = 1, b = -41 e c = 400

$\Delta = b^2 - 4ac\\\\x = \frac{-b \pm \sqrt \Delta}{2a}$

$\Delta = (-41)^2 - 4\cdot1\cdot 400\\\Delta = 1681 - 1600 = 81\\\\y = \frac{-(-41) \pm \sqrt {81}}{2}\\\\y = \frac{41 \pm 9}{2}\\\\y_1 = 25; ~~~~~~~~ x_1 = 41 - 25 = 16\\y_2 = 16; ~~~~~~~~ x_2 = 41 - 16 = 25$

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