Question

Dados A(1, 5) e B(3,-1) determine o ponto no qual a reta AB intersecta a bissetriz dos quadrantes impares.

Answer 1

Olá, tudo bem? Algumas considerações:

1)A bissetriz dos quadrantes ímpares tem como equação reduzida "y = x" e a característica de que seus pontos tem coordenadas iguais e de mesmo sinal;

2)Com os pontos dados "A" e "B", vamos montar a equação da reta AB, utilizando a forma reduzida de uma equação genérica de reta: "y = ax + b", onde "a" é o coeficiente de inclinação dessa reta, assim:

$\left\{ \begin{array}{rcrcrr} 5 & = & 1.a & + & b &\\ -1 & = & 3.a & + & b &\text{Multiplicando a segunda equa\c c\~ao por (-1)} \end{array} \right.\\\\ \left\{ \begin{array}{rcrcrr} 5 & = & a & + & b &\\ 1 & = & -3a & - & b &\text{Somando as duas equa\c c\~oes, termo a termo} \end{array} \right.\\\\6=-2a\rightarrow \boxed{a=-3}$

Substituindo "a= - 3" na primeira equação, teremos:

$5=-3+b\rightarrow \boxed{b=8}\\\\\text{A equa\c c\~ao da reta }\boxed{\overleftrightarrow{AB}: y=-3x+8}$

Finalmente, para que a reta AB intersecte a bissetriz dos quadrantes ímpares, basta fazer "x = y" ou "y = x", assim:

$x=-3x+8\rightarrow 4x=8\rightarrow x=y=2,\\\\ \text{Portanto, o ponto \'e:}\,\,\boxed{(2,\,2)}$

Qualquer dúvida, por favor, estamos à sua disposição. Muito Agradecido!!