Question

calculo 4 ensino superior

x'' +x= sen(2t)-cos(3t)

Answer 1

$x''+x=\mathrm{sen\,}2t-\cos 3t$


Equação diferencial ordinária de 2ª ordem, linear, não-homogênea e a coeficientes constantes.


Encontrando as raízes da equação característica:

$\lambda^2+1=0\\\\ \lambda^2=-1\\\\ \lambda=\pm i$


• Resolvendo a EDO homogênea associada:

$x''+x=0$


As raízes da equação característica são complexos conjugados:

$\lambda=\alpha \pm \beta i$

com $\alpha=0$ e $\beta=1.$


Base geradora da solução da EDO homogênea:

$\big\{e^{\alpha t}\cos \beta t,\,e^{\alpha t}\,\mathrm{sen\,}\beta t\big\}\\\\ =\big\{e^{0 t}\cos t,\,e^{0 t}\,\mathrm{sen\,} t\big\}\\\\ =\big\{\cos t,\,\mathrm{sen\,} t\big\}$


Solução da EDO homogênea:

$x_h(t)=C_1\cos t+C_2\,\mathrm{sen\,}t$

__________

Vamos usar o princípio da superposição, encontrando soluções particulares para as duas EDO's não-homogêneas a seguinte:

$x''+x=\mathrm{sen\,}2t~~~~~~\mathbf{(i)}\\\\ x''+x=-\cos 3t~~~~~~\mathbf{(ii)}$

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• Solução particular para a EDO $\mathbf{(i)}:$

$x_{p1}(t)=A\cos 2t+B\,\mathrm{sen\,}2t$


Derivando em relação a $t,$ temos

$x_{p1}'=-2A\,\mathrm{sen\,} 2t+2B\cos 2t$


Derivando novamente em relação a $t,$ temos

$x_{p1}''=-4A\cos 2t-4B\,\mathrm{sen\,} 2t$


Substituindo em $\mathbf{(i)},$ devemos ter

$x_{p1}''+x_{p1}=\mathrm{sen\,}2t\\\\ \big(\!\!-4A\cos 2t-4B\,\mathrm{sen\,} 2t\big)+\big(A\cos 2t+B\,\mathrm{sen\,} 2t\big)=\mathrm{sen\,}2t\\\\ -3A\cos 2t-3B\,\mathrm{sen\,} 2t=\mathrm{sen\,}2t\\\\\\ \left\{\!\begin{array}{l} -3A=0~~\Rightarrow~~A=0\\\\ -3B=1~~\Rightarrow~~B=-\,\dfrac{1}{3} \end{array} \right.$


Então, a solução particular para $\mathbf{(i)}$ é

$x_{p1}(t)=-\,\dfrac{1}{3}\,\mathrm{sen\,}2t$

_________

• Solução particular para a EDO $\mathbf{(ii)}:$

$x_{p2}(t)=C\cos 3t+D\,\mathrm{sen\,}3t$

Derivando em relação a $t,$ temos

$x_{p2}'=-3C\,\mathrm{sen\,} 3t+3D\cos 3t$


Derivando novamente em relação a $t,$ temos

$x_{p2}''=-9C\cos 3t-9D\,\mathrm{sen\,} 3t$


Substituindo em $\mathbf{(ii)},$ devemos ter

$x_{p2}''+x_{p2}=-\cos 3t\\\\ \big(\!\!-9C\cos 3t-9D\,\mathrm{sen\,} 3t\big)+\big(C\cos 3t+D\,\mathrm{sen\,}3t\big)=-\cos 3t\\\\ -8C\cos 3t-8D\,\mathrm{sen\,} 3t=-\cos 3t\\\\\\ \left\{\!\begin{array}{lcl} -8C=-1&~\Rightarrow~&C=\dfrac{1}{8}\\\\ -8D=0&~\Rightarrow~&D=0 \end{array} \right.$


Então, a solução particular para $\mathbf{(ii)}$ é

$x_{p2}(t)=\dfrac{1}{8}\cos 3t$

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Solução geral para a EDO dada inicialmente:

$x(t)=x_h(t)+x_{p1}(t)+x_{p2}(t)\\\\ \boxed{\begin{array}{c}x(t)=C_1\cos t+C_2\,\mathrm{sen\,}t-\dfrac{1}{3}\,\mathrm{sen\,}2t+\dfrac{1}{8}\cos 3t \end{array}}$

com $C_1,\,C_2 \in\mathbb{R}.$


Bons estudos! :-)