Question

Varios retangulos podem ser formados com 26cmde perimetro, formandovarios retangulos podem ser formados com 26cmde perimetro, formando assim retangulos com areas diferentes. suas areas podem ser exceto?(a)54m²(b)12m²(c)40m²(d)30m²

Answer 1

Questão de equação do 2º grau e análise de sinal.

i) Vamos utilizar o único valor que nos foi dado, o do perímetro, pra achar uma relação entre os lados. Chamando o perímetro de $2p$ e os lados de $x$ e $y$ teremos:

$2p=26\Rightarrow 2x+2y=26\Rightarrow 2(x+y)=26\\ \\ x+y=13\Rightarrow \boxed{y=13-x}$

ii) Agora que temos isso vamos usar a fórmula da área de um retângulo para tentarmos encontrar alguma coisa de útil. Chamando de $S$ a área do retângulo teremos:

$S=x.y \Rightarrow S=x(13-x)\Rightarrow S=13x-x^2\\ \\ x^2-13x+S=0$

Para que exista um retângulo é preciso encontrar valores de $x$, que é o mesmo que resolver a equação acima. Porém para que a equação tenha solução o $\Delta$ dela tem que ser maior que ou igual a 0, ou seja:

$\Delta\geq0 \Rightarrow (-13)^2-4.1.S\geq0\Rightarrow 4S\leq169\\ \\ \boxed{\boxed{S\leq \frac{169}{4} \ cm^2 = 42,25 \ cm^2}}$

Encontramos que a área do retângulo tem que ser menor que 42,25 cm², logo o único valor dentre as alternativas que é maior que esse valor, não podendo, então, existir um retângulo sob as condições do problema, é 54 cm².

R: (a) 54 cm²