Question

A reta r, com os pontos: A,B,C,D,E e a

A reta, com os pontos: F,G,H,I



Escolhem-se ao acaso, três pontos quaisquer entre os nove pontos dados.
Unindo-se os pontos escolhidos, qual a probabilidade de esses pontos
serem vértices de um triângulo?

Answer 1

Bem, para os 3 pontos escolhidos formarem um triângulo, eu posso ter, no máximo, dois pontos colineares.
Vou denominar por "r" um ponto da reta r e por "s" um dos pontos da reta s.
Os possíveis casos com suas respectivas probabilidades (obs: ao escolher um ponto, eu o retirarei do conjunto das possíveis escolhas)
r r s = 5/9 * 4/8* 4/7  = 10/63
r s r = 5/9 * 4/8 * 4/7 = 10/63
r s s = 5/9 * 4/8 * 3/7 = 5/42
s r r = 4/9 * 5/8 * 4/7 = 10/63
s r s = 4/9 * 5/8 * 3/7 = 5/42
s s r = 4/9 * 3/8 * 5/7 = 5/42
Se quisesse facilitar as contas, basta notar que quando os numeradores são 4 4 e 5, o produto será 10 / 63. Se forem 5 4 e 3, o produto será 5/42 pois os denominadores sempre serão iguais a 9 8 e 7 e a ordem dos fatores não alterará o produto.

calculando a soma: 3*10/63 + 3*5/42 = 10/21 + 5/14 = (20+15)/42 = 35/42 = 5/6