Question

A projeção ortogonal de um ponto P de uma estrutura metálica sobre um plano α é o vértice B de um losango ABCD de 6 m de lado que está em α. Se AC = 4 m e a área do triângulo PAB é 12√2 m², pode-se afirmar que a área do triângulo PAC mede:

a) 8 m²
b) 12 m ²
c) 16 m²
d) 20 m²
e) 24 m²

Answer 1

                       P


                      B


A                   O                  C
    
                    
                     D
Seja "O" o ponto de encontro das diagonais AC e BD
Se S Δ PAB = 12√2 ⇒  _AB×PB _ = 12√2
                                             2
                               ⇒ 6×PB= 24√2 ⇒ PB = 4√2
observando Δ BOC (retângulo pois as diagonais se cortam formando ângulo reto) ⇒ BO² = 6² - 2² ⇒ BO = √32 ⇒ BO = 4√2
observando Δ PBO (retângulo pois B projeção ortogonal de P)
                               PO² =  PB² + BO²
                               PO² =  (4√2) + (4√2)²
                               PO² = 32 + 32
                               PO =  8
Então área do Δ PAC  será  S = _AC×PO_ ⇒S = _4×8_ ⇒ S = 16m²
                                                          2                       2
Resposta: alternativa c)

Answer 2

Resposta:

Resposta: c) 16 m²

Explicação passo-a-passo:

Considerando “O” como o ponto de encontro das diagonais AC e BD e que S Δ PAB = 12√2:  

(AB × PB)/2  = 12√2

6×PB = 24√2

PB = 4√2

Se Δ BOC (retângulo, onde as diagonais se cortam e formam um ângulo reto):

BO² = 6² - 2²  

BO = √32  

BO = 4√2

Se Δ PBO (retângulo, onde B é uma projeção ortogonal de P):

PO² =  PB² + BO²

PO² =  (4√2) + (4√2)²

PO² = 32 + 32

PO =  8

Dessa forma, a área do Δ PAC  será:

S = (AC×PO)/2  

S = (4×8)/2

S = 16m²

Sendo assim, a resposta correta é a alternativa c) 16 m² .

Bons estudos!